北海道大学 2017年度
文系数学 前期 第4問

解答

解法1

(1)

$I={\int }_{-1}^{1}f(t)dt$ とおく。与式は $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-a{x}^2+(a^2-b)x+I$ である。両辺を $-1\leqq x\leqq 1$ で積分すると $I={\int }_{-1}^1\left\{\frac{1}{3}{x}^3-a{x}^2+(a^2-b)x+I\right\}dx$ である。奇関数の項は積分すると0なので $I=-a{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx+2I=-\frac{2a}{3}+2I$ となる。したがって $I=\frac{2a}{3}$ である。$f(0)=I$ だから $f(0)=\frac{2a}{3}$ である。

(2)

導関数は $f^{\prime }(x)=x^2-2ax+a^2-b=(x-a{)}^2-b$ である。極値をもつには $b>0$ が必要で、このとき停留点は $x=a-\sqrt{b},x=a+\sqrt{b}$ である。$f^{\prime }(x)$ は上に開く二次式なので、$x=a-\sqrt{b}$ で正から負に変わり、ここが極大点である。一方、$x=a+\sqrt{b}$ は極小点である。

したがって $x>1$ の範囲で極大値をもつための条件は $a-\sqrt{b}>1$ である。これは $b>0$ と合わせて $a>1,0<b<(a-1{)}^2$ と同値である。

よって点 $P(a,b)$ の存在範囲は、$a>1$、$b>0$、$b<(a-1{)}^2$ を満たす領域である。座標平面では、直線 $a=1$ の右側、$b=0$ の上側、放物線 $b=(a-1{)}^2$ の下側で、境界はすべて含まない。

解法2

(問1)

$I={\int }_{-1}^{1}f(t)dt$ とおく。与式を積分すると、奇関数である3次項と1次項の積分は0なので

したがって

与式に $x=0$ を代入すれば

(問2)

極値をもつには $b>0$ が必要である。このとき

の2解は

導関数は左から正、負、正と変化するので、極大点は

である。これが $x>1$ にある条件は

よって条件は

境界 $a=1$、$b=0$、$b=(a-1{)}^2$ はいずれも含まない。