北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $I={\int }_{-1}^{1}f(t)dt$ とおく。与式は $$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-a{x}^2+(a^2-b)x+I$$ である。両辺を $-1\leqq x\leqq 1$ で積分すると $$I={\int }_{-1}^1\{\frac{1}{3}{x}^3-a{x}^2+(a^2-b)x+I\}dx$$ である。奇関数の項は積分すると0なので $$I=-a{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx+2I=-\frac{2a}{3}+2I$$ となる。したがって $$I=\frac{2a}{3}$$ である。$f(0)=I$ だから $$f(0)=\frac{2a}{3}$$ である。

(2)
導関数は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-2ax+a^2-b=(x-a{)}^2-b$$ である。極値をもつには $b>0$ が必要で、このとき停留点は $$x=a-\sqrt{b},x=a+\sqrt{b}$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は上に開く二次式なので、$$x=a-\sqrt{b}$$ で正から負に変わり、ここが極大点である。一方、$$x=a+\sqrt{b}$$ は極小点である。

したがって $x>1$ の範囲で極大値をもつための条件は $$a-\sqrt{b}>1$$ である。これは $b>0$ と合わせて $a>1,0<b<(a-1{)}^2$ と同値である。

よって点 $P(a,b)$ の存在範囲は、$a>1$、$b>0$、$b<(a-1{)}^2$ を満たす領域である。座標平面では、直線 $a=1$ の右側、$b=0$ の上側、放物線 $b=(a-1{)}^2$ の下側で、境界はすべて含まない。

問1は与式の偶奇に注目し、積分で残る項だけを拾う。問2では導関数を平方完成し、左側の零点が極大点になることを符号変化から判定する。最後に $(a,b)$ 平面へ不等式を移す。

(問1)

$I={\int }_{-1}^{1}f(t)dt$ とおく。与式を積分すると、奇関数である3次項と1次項の積分は0なので$$I=-a{\int }_{-1}^1{t}^{2}dt+2I=-\frac{2a}{3}+2I\mathrm{.}$$したがって$$I=\frac{2a}{3}\mathrm{.}$$与式に $x=0$ を代入すれば$$f(0)=\frac{2a}{3}\mathrm{.}$$(問2)$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-2ax+a^2-b=(x-a{)}^2-b\mathrm{.}$$極値をもつには $b>0$ が必要である。このとき$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$$の2解は$$x=a-\sqrt{b},x=a+\sqrt{b}\mathrm{.}$$導関数は左から正、負、正と変化するので、極大点は$$x=a-\sqrt{b}$$である。これが $x>1$ にある条件は$$a-\sqrt{b}>1.$$よって条件は$$a>1,0<b<(a-1{)}^2\mathrm{.}$$境界 $a=1$、$b=0$、$b=(a-1{)}^2$ はいずれも含まない。