北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

3辺の長さが5、6、7の三角形を $T$ とする。

(問1) $T$ の面積を求めよ。

(問2) $T$ を底面とする高さ4の直三角柱の内部に含まれる球の半径の最大値を求めよ。ただし、直三角柱のすべての側面は底面と垂直である。

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

解法1

(1) はヘロンの公式で底面三角形の面積を出す。(2) は三角柱内の球の中心を底面に射影すると、射影点から三角形の各辺までの距離が球の半径以上必要になるため、半径は底面三角形の内接円半径を超えられない。また高さ4なので上下の面から半径は高々2である。この2つの小さい方が最大半径になる。

解法2

面積は余弦定理で一つの角の正弦を求めて計算する。球を底面へ正射影すると、半径は底面三角形の内接円半径以下である。上下方向の制約とも比較し、実現配置を示す。

解答

解法1

(1)

三角形の3辺は $5, 6, 7$ である。半周長を $s$ とすると $s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ である。ヘロンの公式より面積は $s (s - 5) (s - 6) (s - 7) = 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 66$ である。

(2)

底面三角形の内接円半径を $ρ$ とする。面積は $\frac{1}{2} ρ (5 + 6 + 7) = 9 ρ$ とも表せるので、(1) より $9 ρ = 66$ したがって $ρ = \frac{2 6}{3}$ である。

三角柱の内部に半径 $R$ の球が含まれるとする。球の中心を底面に正射影した点から、底面三角形の各辺までの距離は少なくとも $R$ でなければならない。したがって $R ≦ ρ$ である。また柱の高さは4なので、上下の底面からの距離を考えると $R ≦ 2$ である。よって $R ≦ min (\frac{2 6}{3}, 2) = \frac{2 6}{3}$ である。

実際、底面三角形の内心の真上で、高さ2の点を中心に半径 $26 /3$ の球を置けば、側面にも上下の底面にも収まる。したがって最大半径は $\frac{2 6}{3}$ である。

解法2

(問1)

長さ5と6の辺のなす角を $θ$ とする。余弦定理より

7^{2} = 5^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 6 cos θ,

したがって

cos θ = \frac{1}{5}, sin θ = \frac{2 6}{5} .

よって面積は

[T] = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{2 6}{5} = 66 .

(問2)

底面三角形の内接円半径を $r$ とすると

66 = \frac{1}{2} (5 + 6 + 7) r = 9 r .

よって

r = \frac{2 6}{3} .

三角柱内の球を底面に正射影すると、中心の射影から各辺までの距離は球の半径 $R$ 以上でなければならない。したがって

R ≦ \frac{2 6}{3} .

また上下の底面の間隔は4なので

R ≦ 2.

ここで $26 /3 < 2$ である。底面の内心の真上、高さ2の点を中心にすれば半径 $26 /3$ の球を実際に置ける。よって最大半径は

\frac{2 6}{3} .

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(問1)

(問2)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第1問