北海道大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
三角形の3辺は $5,6,7$ である。半周長を $s$ とすると $$s=\frac{5+6+7}{2}=9$$ である。ヘロンの公式より面積は $$\sqrt{s(s-5)(s-6)(s-7)}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$$ である。

(2)
底面三角形の内接円半径を $\rho$ とする。面積は $$\frac{1}{2}\rho (5+6+7)=9\rho$$ とも表せるので、(1) より $9\rho =6\sqrt{6}$ したがって $$\rho =\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ である。

三角柱の内部に半径 $R$ の球が含まれるとする。球の中心を底面に正射影した点から、底面三角形の各辺までの距離は少なくとも $R$ でなければならない。したがって $R\leqq \rho$ である。また柱の高さは4なので、上下の底面からの距離を考えると $R\leqq 2$ である。よって $$R\leqq \min (\frac{2\sqrt{6}}{3},2)=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ である。

実際、底面三角形の内心の真上で、高さ2の点を中心に半径 $2\sqrt{6}\mathrm{/}3$ の球を置けば、側面にも上下の底面にも収まる。したがって最大半径は $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ である。

面積は余弦定理で一つの角の正弦を求めて計算する。球を底面へ正射影すると、半径は底面三角形の内接円半径以下である。上下方向の制約とも比較し、実現配置を示す。

(問1)

長さ5と6の辺のなす角を $\theta$ とする。余弦定理より$$7^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cos \theta ,$$したがって$$\cos \theta =\frac{1}{5},\sin \theta =\frac{2\sqrt{6}}{5}\mathrm{.}$$よって面積は$$[T]=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}\mathrm{.}$$(問2)

底面三角形の内接円半径を $r$ とすると$$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}(5+6+7)r=9r\mathrm{.}$$よって$$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$三角柱内の球を底面に正射影すると、中心の射影から各辺までの距離は球の半径 $R$ 以上でなければならない。したがって$$R\leqq \frac{2\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$また上下の底面の間隔は4なので$$R\leqq 2.$$ここで $2\sqrt{6}\mathrm{/}3<2$ である。底面の内心の真上、高さ2の点を中心にすれば半径 $2\sqrt{6}\mathrm{/}3$ の球を実際に置ける。よって最大半径は$$\frac{2\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$