北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $c$ に対して、数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = c, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} ∣ a_{n} ∣ + 1 (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。

(問1) $c ≧ 0$ とする。すべての $n$ に対して $a_{n} ≧ 0$ が成り立つことを示し、一般項を求めよ。

(問2) $c < 0$ とする。すべての $n$ に対して $a_{n} < 0$ となる $c$ の範囲を求めよ。

(問3) 数列 ${a_{n}}$ が収束する $c$ の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1

$a_{n} ≧ 0$ のときは $a_{n + 1} = a_{n} /2 + 1$ 、 $a_{n} < 0$ のときは $a_{n + 1} = 3 a_{n} /2 + 1$ になる。(1) は非負性が保たれることを帰納的に示し、不動点2を引いて一般項を出す。(2) は負の側の式で不動点 $- 2$ を引き、全項負となる条件を調べる。(3) は $- 2 < c < 0$ では有限回で非負側へ移ることを示す。

解法2

写像 $Φ (x) = x - ∣ x ∣/2 + 1$ を、非負側と負側の二つの一次写像として調べる。各側の不動点2と $- 2$ との差が次の項で何倍になるかを見れば、不変領域・脱出・発散が一度に分かる。

解答

解法1

(1)

$c ≧ 0$ とする。 $a_{n} ≧ 0$ なら $∣ a_{n} ∣ = a_{n}$ なので $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} a_{n} + 1 = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ である。右辺は正であるから、 $a_{1} = c ≧ 0$ より帰納的にすべての $n$ で $a_{n} ≧ 0$ が成り立つ。

このとき $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ である。 $a_{1} = c$ だから $a_{n} - 2 = (c - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}$ となり、 $a_{n} = 2 + \frac{c - 2}{2 ^{n - 1}}$ である。

(2)

$c < 0$ とする。すべての項が負である間は $∣ a_{n} ∣ = - a_{n}$ なので $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2} a_{n} + 1 = \frac{3}{2} a_{n} + 1$ である。したがって $a_{n + 1} + 2 = \frac{3}{2} (a_{n} + 2)$ であり、負の状態が続く限り $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ となる。

すべての $n$ で $a_{n} < 0$ となるためには、右辺がすべて負でなければならない。もし $c + 2 > 0$ 、すなわち $- 2 < c < 0$ なら、 $(3/2)^{n - 1}$ が大きくなるため右辺はやがて0以上になる。したがって不適である。一方、 $c + 2 ≦ 0$ なら $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1} ≦ - 2 < 0$ で、すべて負である。よって求める条件は $c ≦ - 2$ である。

(3)

$c ≧ 0$ のときは (1) より $a_{n} = 2 + \frac{c - 2}{2 ^{n - 1}}$ なので $a_{n} \to 2$ である。 $c = - 2$ のときは漸化式から $a_{n} = - 2$ が続くので収束する。 $- 2 < c < 0$ のとき、負の間は $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ である。ここで $c + 2 > 0$ なので、右辺はやがて0以上になる。いったん $a_{n} ≧ 0$ になれば、その後は (1) と同じ形で非負性が保たれ、2に収束する。 $c < - 2$ のときは、(2) と同じ式で $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ がすべての $n$ で成り立ち、 $c + 2 < 0$ だから $a_{n} \to - \infty$ である。したがって収束しない。

以上より、数列 ${a_{n}}$ が収束する条件は $c ≧ - 2$ である。

解法2

漸化式を写像で書くと

a_{n + 1} = Φ (a_{n}), Φ (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} x + 1, \frac{3}{2} x + 1, x ≧ 0, x < 0.

(問1)

$x ≧ 0$ なら $Φ (x) ≧ 1$ なので、非負の領域はその後も保たれる。また

a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2) .

したがって

a_{n} = 2 + \frac{c - 2}{2 ^{n - 1}} .

(問2)

負の領域にいる間は

a_{n + 1} + 2 = \frac{3}{2} (a_{n} + 2) .

よって

a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1} .

$c ≦ - 2$ なら右辺は常に負である。逆に $- 2 < c < 0$ なら正の項 $(c + 2) (3/2)^{n - 1}$ が増大し、有限回で0以上になる。したがって

c ≦ - 2.

(問3)

$c ≧ 0$ では問1より $a_{n} \to 2$ である。 $- 2 < c < 0$ では有限回で非負側へ移り、その後は2へ収束する。 $c = - 2$ では全項が $- 2$ である。一方 $c < - 2$ では

a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1} ⟶ - \infty.

よって収束条件は

c ≧ - 2.

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第3問