方針
an≧0 のときは an+1=an/2+1、an<0 のときは an+1=3an/2+1 になる。(1) は非負性が保たれることを帰納的に示し、不動点2を引いて一般項を出す。(2) は負の側の式で不動点 −2 を引き、全項負となる条件を調べる。(3) は −2<c<0 では有限回で非負側へ移ることを示す。
解答
(1) c≧0 とする。an≧0 なら ∣an∣=an なので an+1=an−21an+1=21an+1 である。右辺は正であるから、a1=c≧0 より帰納的にすべての n で an≧0 が成り立つ。
このとき an+1−2=21(an−2) である。a1=c だから an−2=(c−2)(21)n−1 となり、an=2+2n−1c−2 である。
(2) c<0 とする。すべての項が負である間は ∣an∣=−an なので an+1=an+21an+1=23an+1 である。したがって an+1+2=23(an+2) であり、負の状態が続く限り an=−2+(c+2)(23)n−1 となる。
すべての n で an<0 となるためには、右辺がすべて負でなければならない。もし c+2>0、すなわち −2<c<0 なら、(3/2)n−1 が大きくなるため右辺はやがて0以上になる。したがって不適である。一方、c+2≦0 なら an=−2+(c+2)(23)n−1≦−2<0 で、すべて負である。よって求める条件は c≦−2 である。
(3) c≧0 のときは (1) より an=2+2n−1c−2 なので an→2 である。 c=−2 のときは漸化式から an=−2 が続くので収束する。 −2<c<0 のとき、負の間は an=−2+(c+2)(23)n−1 である。ここで c+2>0 なので、右辺はやがて0以上になる。いったん an≧0 になれば、その後は (1) と同じ形で非負性が保たれ、2に収束する。 c<−2 のときは、(2) と同じ式で an=−2+(c+2)(23)n−1 がすべての n で成り立ち、c+2<0 だから an→−∞ である。したがって収束しない。
以上より、数列 {an} が収束する条件は c≧−2 である。
別解
解法2
方針
写像 Φ(x)=x−∣x∣/2+1 を、非負側と負側の二つの一次写像として調べる。各側の不動点2と −2 との差が次の項で何倍になるかを見れば、不変領域・脱出・発散が一度に分かる。
解答
漸化式を写像で書くとan+1=Φ(an),Φ(x)=⎩⎨⎧21x+1,23x+1,x≧0,x<0.(問1)
x≧0 なら Φ(x)≧1 なので、非負の領域はその後も保たれる。またan+1−2=21(an−2).したがってan=2+2n−1c−2.(問2)
負の領域にいる間はan+1+2=23(an+2).よってan=−2+(c+2)(23)n−1.c≦−2 なら右辺は常に負である。逆に −2<c<0 なら正の項 (c+2)(3/2)n−1 が増大し、有限回で0以上になる。したがってc≦−2.(問3)
c≧0 では問1より an→2 である。−2<c<0 では有限回で非負側へ移り、その後は2へ収束する。c=−2 では全項が −2 である。一方 c<−2 ではan=−2+(c+2)(23)n−1⟶−∞.よって収束条件はc≧−2.
総評
難度6、計算量5。想定時間は22分程度。非負側では不動点2との差が半分、負側では不動点 −2 との差が3/2倍になる。場合分けによる一般項と写像の相図の2通りで、全項負の条件 c≦−2 と収束条件 c≧−2 を確認した。
冊子PDFで見る北大の数列の問題で問題集を作る
出典: 北海道大学 2017年度 後期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
Evolton