北海道大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
二項定理より $$(z+z^{-1}{)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k{z}^{2n-k}(z^{-1}{)}^k$$ である。指数をまとめると $$(z+z^{-1}{)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k{z}^{2n-2k}$$ となる。

(2) $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおくと $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ であり、$$z^{-1}=\cos \theta -i\sin \theta$$ である。したがって $z+z^{-1}=2\cos \theta$ である。また整数 $m$ について、$z^m$ の実部は $\cos m\theta$ である。

(1) の両辺に $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ を代入して実部を比較すると$$(2\cos \theta {)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k\cos (2n-2k)\theta$$すなわち$$(2\cos \theta {)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k\cos (2(n-k)\theta )$$を得る。これは問題の等式である。

(3)
(2) の等式を $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ で積分する。左辺は $2^{2n}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta$ である。右辺について、$k\mathrm{\ne }n$ のとき$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos (2(n-k)\theta )d\theta ={\left[\frac{\sin (2(n-k)\theta )}{2(n-k)}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=0$$である。$k=n$ のときだけ $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1d\theta =\frac{\pi }{2}$$ が残る。したがって$$2^{2n}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta ={}_{2n}{\mathrm{C}}_n\frac{\pi }{2}$$である。よって$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta =\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n\pi }{2^{2n+1}}$$であり、$${}_{2n}{\mathrm{C}}_n=(2n)!\mathrm{/}(n!{)}^2$$ より$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta =\frac{(2n)!\pi }{2^{2n+1}(n!{)}^2}$$である。

問1・問2は共役な冪を組にして実部をとる。問3は前問とは独立に部分積分からウォリス型漸化式を導き、積を階乗へ直して同じ公式を確認する。

(問1)

二項定理より$$(z+z^{-1}{)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k{z}^{2n-2k}\mathrm{.}$$(問2)

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので $z^{-1}=\bar{z}$ であり$$z+z^{-1}=2\cos \theta \mathrm{.}$$またド・モアブルの定理より$$\mathrm{Re}(z^{2n-2k})=\cos \{2(n-k)\theta \}\mathrm{.}$$問1の両辺の実部をとれば$$(2\cos \theta {)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k\cos \{2(n-k)\theta \}\mathrm{.}$$(問3)$$I_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2n}\theta d\theta$$とおく。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle =(2n-1){\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^2\theta {\cos }^{2n-2}\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2n-1)(I_{n-1}-I_n)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$I_n=\frac{2n-1}{2n}{I}_{n-1}\mathrm{.}$$$I_0=\pi \mathrm{/}2$ なので$$I_n=\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$ここで$$1\cdot 3\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!},2\cdot 4\cdots 2n=2^{n}n!$$であるから$$I_n=\frac{(2n)!\pi }{2^{2n+1}(n!{)}^2}\mathrm{.}$$