北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。

(問1) 0でない複素数 $z$ に対し、二項定理を用いて

(z + z^{- 1})^{2 n}

を展開せよ。

(問2) $z = cos θ + i sin θ$ とおき、問1の展開式を用いて

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos {2 (n - k) θ}

を示せ。

(問3)

\int_{0}^{π /2} (cos θ)^{2 n} d θ = \frac{( 2 n )! π}{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}}

を示せ。

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1

(1) は二項定理で $(z + z^{- 1})^{2 n}$ を展開し、指数を $2 n - 2 k$ に整理する。(2) は $∣ z ∣ = 1$ のとき $z^{- 1} = \overline{z}$ 、 $z + z^{- 1} = 2 cos θ$ であり、各項の実部が $cos (2 (n - k) θ)$ になることを使う。(3) は両辺を積分し、 $k = n$ 以外の余弦項の積分が0になることを示す。

解法2

問1・問2は共役な冪を組にして実部をとる。問3は前問とは独立に部分積分からウォリス型漸化式を導き、積を階乗へ直して同じ公式を確認する。

解答

解法1

(1)

二項定理より $(z + z^{- 1})^{2 n} = \sum_{k = 0}^{2 n}_{2 n} C_{k} z^{2 n - k} (z^{- 1})^{k}$ である。指数をまとめると $(z + z^{- 1})^{2 n} = \sum_{k = 0}^{2 n}_{2 n} C_{k} z^{2 n - 2 k}$ となる。

(2)

$z = cos θ + i sin θ$ とおくと $∣ z ∣ = 1$ であり、 $z^{- 1} = cos θ - i sin θ$ である。したがって $z + z^{- 1} = 2 cos θ$ である。また整数 $m$ について、 $z^{m}$ の実部は $cos m θ$ である。

(1) の両辺に $z = cos θ + i sin θ$ を代入して実部を比較すると

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos (2 n - 2 k) θ

すなわち

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos (2 (n - k) θ)

を得る。これは問題の等式である。

(3)

(2) の等式を $0 ≦ θ ≦ π /2$ で積分する。左辺は $2^{2 n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ$ である。右辺について、 $k \neq = n$ のとき

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (2 (n - k) θ) d θ = [\frac{sin ( 2 ( n - k ) θ )}{2 ( n - k )}]_{0}^{\frac{π}{2}} = 0

である。 $k = n$ のときだけ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d θ = \frac{π}{2}$ が残る。したがって

2^{2 n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ =_{2 n} C_{n} \frac{π}{2}

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ = \frac{_{2 n} C _{n} π}{2 ^{2 n + 1}}

であり、 $_{2 n} C_{n} = (2 n)! / (n!)^{2}$ より

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ = \frac{( 2 n )! π}{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}}

である。

解法2

(問1)

二項定理より

(z + z^{- 1})^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} z^{2 n - 2 k} .

(問2)

$∣ z ∣ = 1$ なので $z^{- 1} = \overline{z}$ であり

z + z^{- 1} = 2 cos θ .

またド・モアブルの定理より

Re (z^{2 n - 2 k}) = cos {2 (n - k) θ} .

問1の両辺の実部をとれば

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos {2 (n - k) θ} .

(問3)

I_{n} = \int_{0}^{π /2} cos^{2 n} θ d θ

とおく。部分積分により

I_{n} = (2 n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{2 n - 2} θ d θ = (2 n - 1) (I_{n - 1} - I_{n}) .

したがって

I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1} .

$I_{0} = π /2$ なので

I_{n} = \frac{1 \cdot 3 \dots ( 2 n - 1 )}{2 \cdot 4 \dots 2 n} \frac{π}{2} .

ここで

1 \cdot 3 \dots (2 n - 1) = \frac{( 2 n )!}{2 ^{n} n !}, 2 \cdot 4 \dots 2 n = 2^{n} n!

であるから

I_{n} = \frac{( 2 n )! π}{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}} .

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第2問