北海道大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(問1)

交点の $x$ 座標は$$(x-a{)}^2+b=x-1$$を満たす。整理すると$$x^2-(2a+1)x+a^2+b+1=0$$である。共有点が高々1個であるための必要十分条件は、判別式が0以下となることである。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(2a+1{)}^2-4(a^2+b+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a-4b-3\leqq 0.}\end{array}$$よって$$b\geqq a-\frac{3}{4}$$である。

(問2)

$Q$ 上の点 $X=(x,(x-a{)}^2+b)$ と、同じ $x$ 座標をもつ $l$ 上の点との鉛直差を$$g(x)=(x-a{)}^2+b-(x-1)$$とおく。問1の条件により $g(x)\geqq 0$ であり、点 $X$ から $l$ までの距離は $g(x)\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-a)-1$$より、距離が最小となるのは $x=a+1\mathrm{/}2$ のときである。したがって$$A(a+\frac{1}{2},b+\frac{1}{4})\mathrm{.}$$$Q$ の接線の傾きは $2(x-a)$ である。$l$ と垂直な接線の傾きは $-1$ なので$$2(x-a)=-1.$$よって$$B(a-\frac{1}{2},b+\frac{1}{4})\mathrm{.}$$この点における接線は$$y=-x+a+b-\frac{1}{4}$$であり、$y=x-1$ と連立して$$C(\frac{a+b}{2}+\frac{3}{8},\frac{a+b}{2}-\frac{5}{8})$$を得る。

(問3)

$AB=1$ であり、点 $C$ から直線 $AB$ までの距離は$$(b+\frac{1}{4})-(\frac{a+b}{2}-\frac{5}{8})=\frac{b-a}{2}+\frac{7}{8}$$である。したがって面積 $S$ は$$S=\frac{b-a}{4}+\frac{7}{16}\mathrm{.}$$$d=b-a$ とおく。制約は$$d\geqq -\frac{3}{4},d\leqq 2-a,d\leqq a+1,a\geqq 0$$となる。最小値 $d=-3\mathrm{/}4$ は、たとえば $(a,b)=(0,-3\mathrm{/}4)$ で実現する。よって$$S_{\min }=-\frac{3}{16}+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$一方、$d$ の上限 $\min (2-a,a+1)$ は$$2-a=a+1$$となる $a=1\mathrm{/}2$ で最大となり、その値は $3\mathrm{/}2$ である。これは $(a,b)=(1\mathrm{/}2,2)$ で実現する。したがって$$S_{\max }=\frac{3}{8}+\frac{7}{16}=\frac{13}{16}\mathrm{.}$$

問1・問2は接線の位置関係で幾何的に処理する。$l$ と平行な接線の接点が $A$、垂直な接線の接点が $B$ である。問3は $(a,b)$ 平面に許容領域と等面積直線 $b-a=\text{一定}$ を描き、接する位置から最値を読む。

(問1)

放物線と直線が交わらないか接するためには、放物線 $Q$ が直線 $l$ の上側にあればよい。両者の鉛直差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-a{)}^2+b-(x-1)}& {\displaystyle ={(x-a-\frac{1}{2})}^2+b-a+\frac{3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$これがすべての実数 $x$ で非負となる条件は$$b-a+\frac{3}{4}\geqq 0,$$すなわち$$b\geqq a-\frac{3}{4}$$である。

(問2)

$Q$ と $l$ の距離が最短となる点では、$Q$ の接線が $l$ と平行である。よって接線の傾きを1として$$2(x-a)=1$$を解けば$$A(a+\frac{1}{2},b+\frac{1}{4})$$を得る。

また $B$ では接線が $l$ と垂直なので$$2(x-a)=-1.$$したがって$$B(a-\frac{1}{2},b+\frac{1}{4})\mathrm{.}$$接線 $y=-x+a+b-1\mathrm{/}4$ と $l$ の交点を求めると$$C(\frac{a+b}{2}+\frac{3}{8},\frac{a+b}{2}-\frac{5}{8})\mathrm{.}$$(問3)

底辺を $AB$ とすると$$S=\frac{b-a}{4}+\frac{7}{16}\mathrm{.}$$許容領域は$$a\geqq 0,a-\frac{3}{4}\leqq b\leqq 2,b\leqq 2a+1$$である。次の図で、$b-a$ は傾き1の直線を平行移動したときの切片に等しい。

最小切片は $-3\mathrm{/}4$、最大切片は $3\mathrm{/}2$ であるから$$S_{\min }=\frac{1}{4},S_{\max }=\frac{13}{16}\mathrm{.}$$