北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とし、放物線

Q : y = (x - a)^{2} + b

と直線

l : y = x - 1

を考える。 $Q$ と $l$ は共有点をもたないか、または1点で接しているとする。

(問1) $a, b$ の満たす条件を求めよ。

(問2) $Q$ 上の点のうち $l$ までの距離が最小となるものを $A$ とする。また、 $Q$ 上の点 $B$ における接線が、点 $C$ において $l$ と垂直に交わるとする。3点 $A, B, C$ の座標を $a, b$ を用いて表せ。

(問3) さらに

a ≧ 0, b ≦ 2, b ≦ 2 a + 1

を満たすとき、 $△ A B C$ の面積の最大値と最小値を求めよ。

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

解法1

問1では交点方程式の判別式を正確に展開する。問2では放物線が直線の上側にあることを使い、鉛直差を最小化して $A$ を求める。 $B$ は接線の傾きが $- 1$ となる点である。問3では面積を $d = b - a$ の一次式にし、制約を $d$ の上下限へ翻訳する。

解法2

問1・問2は接線の位置関係で幾何的に処理する。 $l$ と平行な接線の接点が $A$ 、垂直な接線の接点が $B$ である。問3は $(a, b)$ 平面に許容領域と等面積直線 $b - a = 一定$ を描き、接する位置から最値を読む。

解答

解法1

(問1)

交点の $x$ 座標は

(x - a)^{2} + b = x - 1

を満たす。整理すると

x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + b + 1 = 0

である。共有点が高々1個であるための必要十分条件は、判別式が0以下となることである。したがって

D = (2 a + 1)^{2} - 4 (a^{2} + b + 1) = 4 a - 4 b - 3 ≦ 0.

よって

b ≧ a - \frac{3}{4}

である。

(問2)

$Q$ 上の点 $X = (x, (x - a)^{2} + b)$ と、同じ $x$ 座標をもつ $l$ 上の点との鉛直差を

g (x) = (x - a)^{2} + b - (x - 1)

とおく。問1の条件により $g (x) ≧ 0$ であり、点 $X$ から $l$ までの距離は $g (x) / 2$ である。

g^{'} (x) = 2 (x - a) - 1

より、距離が最小となるのは $x = a + 1/2$ のときである。したがって

A (a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{4}) .

$Q$ の接線の傾きは $2 (x - a)$ である。 $l$ と垂直な接線の傾きは $- 1$ なので

2 (x - a) = - 1.

よって

B (a - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{4}) .

この点における接線は

y = - x + a + b - \frac{1}{4}

であり、 $y = x - 1$ と連立して

C (\frac{a + b}{2} + \frac{3}{8}, \frac{a + b}{2} - \frac{5}{8})

を得る。

(問3)

$A B = 1$ であり、点 $C$ から直線 $A B$ までの距離は

(b + \frac{1}{4}) - (\frac{a + b}{2} - \frac{5}{8}) = \frac{b - a}{2} + \frac{7}{8}

である。したがって面積 $S$ は

S = \frac{b - a}{4} + \frac{7}{16} .

$d = b - a$ とおく。制約は

d ≧ - \frac{3}{4}, d ≦ 2 - a, d ≦ a + 1, a ≧ 0

となる。最小値 $d = - 3/4$ は、たとえば $(a, b) = (0, - 3/4)$ で実現する。よって

S_{m i n} = - \frac{3}{16} + \frac{7}{16} = \frac{1}{4} .

一方、 $d$ の上限 $min (2 - a, a + 1)$ は

2 - a = a + 1

となる $a = 1/2$ で最大となり、その値は $3/2$ である。これは $(a, b) = (1/2, 2)$ で実現する。したがって

S_{m a x} = \frac{3}{8} + \frac{7}{16} = \frac{13}{16} .

解法2

(問1)

放物線と直線が交わらないか接するためには、放物線 $Q$ が直線 $l$ の上側にあればよい。両者の鉛直差は

(x - a)^{2} + b - (x - 1) = (x - a - \frac{1}{2})^{2} + b - a + \frac{3}{4} .

これがすべての実数 $x$ で非負となる条件は

b - a + \frac{3}{4} ≧ 0,

すなわち

b ≧ a - \frac{3}{4}

である。

(問2)

$Q$ と $l$ の距離が最短となる点では、 $Q$ の接線が $l$ と平行である。よって接線の傾きを1として

2 (x - a) = 1

を解けば

A (a + \frac{1}{2}, b + \frac{1}{4})

を得る。

また $B$ では接線が $l$ と垂直なので

2 (x - a) = - 1.

したがって

B (a - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{4}) .

接線 $y = - x + a + b - 1/4$ と $l$ の交点を求めると

C (\frac{a + b}{2} + \frac{3}{8}, \frac{a + b}{2} - \frac{5}{8}) .

(問3)

底辺を $A B$ とすると

S = \frac{b - a}{4} + \frac{7}{16} .

許容領域は

a ≧ 0, a - \frac{3}{4} ≦ b ≦ 2, b ≦ 2 a + 1

である。次の図で、 $b - a$ は傾き1の直線を平行移動したときの切片に等しい。

最小切片は $- 3/4$ 、最大切片は $3/2$ であるから

S_{m i n} = \frac{1}{4}, S_{m a x} = \frac{13}{16} .

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第4問