問題
とする。三角形 において
とし，点 を三角形 の外心とする。
(1) の大きさを求めよ。
(2) 直線 と直線 が垂直に交わるときの の値を求めよ。
方針
解法1
(1)は余弦定理を に対して使う。与えられた3辺のうち、 が の対辺であることを確認し、 により分母が正であることも明記する。(2)は外心が辺 の垂直二等分線上にあることを使う。 なら、点 もその垂直二等分線上にあるので となり、 が一意に決まる。
解法2（座標による確認）
点 を原点、辺 を 軸上に置く。設問(1)で得た角を用いて の座標を定め、外心を2本の垂直二等分線の交点として求める。条件 を方向ベクトルの内積で表し、図形的解法とは独立に を決定する。
解答
解法1
(1)
は辺 の対角である。余弦定理より であるから である。与えられた長さを代入すると
である。ここで なので である。三角形の角は から の間にあるため である。
(2)
外心 は、辺 の垂直二等分線上にある。したがって を通り に垂直な直線は、辺 の垂直二等分線である。
いま直線 と直線 が垂直に交わるとする。このとき と を通る直線 は に垂直であり、しかも を通るので、 は辺 の垂直二等分線そのものである。よって点 は辺 の垂直二等分線上にあり、 が成り立つ。
したがって である。 よりこの解は条件を満たし、 である。
逆に なら であるから、 は辺 の垂直二等分線上にある。外心 も同じ垂直二等分線上にあるので、 が成り立つ。よってこの値は十分条件も満たす。
解法2（座標による確認）
(1)
, と置く。余弦定理から
であり、 だから である。したがって
(2)
辺 の垂直二等分線は なので、外心を とおく。条件 を二乗して整理すると
一方、 は と同値である。ここへ座標を代入すると
だから
を得る。
