北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $\mathrm{\angle }ACB$ は辺 $AB$ の対角である。余弦定理より $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cos \mathrm{\angle }ACB$$ であるから $$\cos \mathrm{\angle }ACB=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC\cdot BC}$$ である。与えられた長さを代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \mathrm{\angle }ACB}& {\displaystyle =\frac{2+(t-1{)}^2-(t^2+1)}{2\sqrt{2}(t-1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-2(t-1)}{2\sqrt{2}(t-1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}$$である。ここで $t>1$ なので $t-1\mathrm{\ne }0$ である。三角形の角は $0$ から $\pi$ の間にあるため $$\mathrm{\angle }ACB=\frac{3\pi }{4}$$ である。

(2)
外心 $O$ は、辺 $AB$ の垂直二等分線上にある。したがって $O$ を通り $AB$ に垂直な直線は、辺 $AB$ の垂直二等分線である。

いま直線 $CO$ と直線 $AB$ が垂直に交わるとする。このとき $C$ と $O$ を通る直線 $CO$ は $AB$ に垂直であり、しかも $O$ を通るので、$CO$ は辺 $AB$ の垂直二等分線そのものである。よって点 $C$ は辺 $AB$ の垂直二等分線上にあり、$CA=CB$ が成り立つ。

したがって $\sqrt{2}=t-1$ である。$t>1$ よりこの解は条件を満たし、$t=1+\sqrt{2}$ である。

逆に $t=1+\sqrt{2}$ なら $CA=CB$ であるから、$C$ は辺 $AB$ の垂直二等分線上にある。外心 $O$ も同じ垂直二等分線上にあるので、$CO\perp AB$ が成り立つ。よってこの値は十分条件も満たす。

点 $C$ を原点、辺 $CA$ を $x$ 軸上に置く。設問(1)で得た角を用いて $A,B$ の座標を定め、外心を2本の垂直二等分線の交点として求める。条件 $CO\perp AB$ を方向ベクトルの内積で表し、図形的解法とは独立に $t$ を決定する。

(1)
$C=(0,0)$, $A=(\sqrt{2},0)$ と置く。余弦定理から$$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC\cdot BC}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$であり、$0<C<\pi$ だから $C=3\pi \mathrm{/}4$ である。したがって$$B=(-\frac{t-1}{\sqrt{2}},\frac{t-1}{\sqrt{2}})\mathrm{.}$$(2)
辺 $AC$ の垂直二等分線は $x=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なので、外心を $O=(1\mathrm{/}\sqrt{2},y)$ とおく。条件 $OA=OB$ を二乗して整理すると$$y=\frac{t^2-2t-1}{2(t-1)}\mathrm{.}$$一方、$CO\perp AB$ は $$\overrightarrow{CO}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$ と同値である。ここへ座標を代入すると$$(t-1{)}^2=2.$$$t>1$ だから$$t=1+\sqrt{2}$$を得る。