北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $f(x)=x^2+ax+b$ の軸は $$x=-\frac{a}{2}$$ である。区間 $0\leqq x\leqq 1$ 上の最小値は、この軸の位置によって決まる。 $a\geqq 0$ のとき、軸は $x\leqq 0$ にあるので、区間 $[0,1]$ では $f(x)$ は右へ進むほど増加する。したがって最小値は $x=0$ で $m=b$ である。 $-2\leqq a\leqq 0$ のとき、軸 $x=-a\mathrm{/}2$ は区間 $[0,1]$ 内にある。したがって最小値は頂点でとり、$$m=f(-\frac{a}{2})=b-\frac{a^2}{4}$$ である。 $a\leqq -2$ のとき、軸は $x\geqq 1$ にあるので、区間 $[0,1]$ では $f(x)$ は右へ進むほど減少する。したがって最小値は $x=1$ で $m=1+a+b$ である。以上より$$m=\{\begin{array}{ll}b& (a\geqq 0),\\ b-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}& (-2\leqq a\leqq 0),\\ 1+a+b& (a\leqq -2)\end{array}$$である。

(2)
(1)のどの式でも、$m$ は $b$ に対して係数1で増加する。したがって $m$ を最大にするには、制約 $a+2b\leqq 2$ の等号が成り立てばよい。よって $$b=1-\frac{a}{2}$$ とおく。 $a\geqq 0$ のとき、$$m=b=1-\frac{a}{2}\leqq 1$$ であり、最大でも1である。 $-2\leqq a\leqq 0$ のとき、$$m=1-\frac{a}{2}-\frac{a^2}{4}$$ である。平方完成すると $$1-\frac{a}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{5}{4}-\frac{(a+1{)}^2}{4}$$ であるから、この範囲では $a=-1$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。このとき $$b=1-\frac{-1}{2}=\frac{3}{2}$$ である。 $a\leqq -2$ のとき、$$m=1+a+b=1+a+1-\frac{a}{2}=2+\frac{a}{2}\leqq 1$$ であり、最大でも1である。

したがって全体で最大になるのは $$a=-1,b=\frac{3}{2}$$ であり、そのときの最大値は $m=\frac{5}{4}$ である。

制約を等号にした後、最小値を $a$ だけの関数として捉える。頂点が区間内にある中央の場合を平方完成し、端点で最小となる左右の場合と比較する。

(1)
平方完成すると$$f(x)={(x+\frac{a}{2})}^2+b-\frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$頂点と区間 $[0,1]$ の位置関係から$$m=\{\begin{array}{ll}b& (a\geqq 0),\\ b-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}& (-2\leqq a\leqq 0),\\ 1+a+b& (a\leqq -2)\end{array}$$である。

(2)
$b$ を増やすと $m$ も同じだけ増えるため、最大時には $a+2b=2$ である。$b=1-a\mathrm{/}2$ を代入すると$$m(a)=\{\begin{array}{ll}1-{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\geqq 0),\\ {\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{(a+1{)}^2}{4}}& (-2\leqq a\leqq 0),\\ 2+{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\leqq -2)\mathrm{.}\end{array}$$左右の範囲では $m\leqq 1$、中央では $a=-1$ のとき $m=5\mathrm{/}4$ である。ゆえに$$(a,b)=(-1,\frac{3}{2}),m_{\max }=\frac{5}{4}\mathrm{.}$$