問題
は実数とし，関数
の における最小値を とする。
(1) を で表せ。
(2) を満たす のうち を最大にするものを求めよ。また，このときの を求めよ。
方針
解法1
(1)は放物線 の軸 が区間 の左、内部、右のどこにあるかで場合分けする。(2)では、どの場合でも最小値 は に対して係数1で増加するので、制約 のもとで最大を考えるときは等号 としてよい。そこで を(1)の各場合に代入し、3つの範囲で最大値を比較する。
解法2（下側包絡線を最大化）
制約を等号にした後、最小値を だけの関数として捉える。頂点が区間内にある中央の場合を平方完成し、端点で最小となる左右の場合と比較する。
解答
解法1
(1)
の軸は である。区間 上の最小値は、この軸の位置によって決まる。 のとき、軸は にあるので、区間 では は右へ進むほど増加する。したがって最小値は で である。 のとき、軸 は区間 内にある。したがって最小値は頂点でとり、 である。 のとき、軸は にあるので、区間 では は右へ進むほど減少する。したがって最小値は で である。以上より
である。
(2)
(1)のどの式でも、 は に対して係数1で増加する。したがって を最大にするには、制約 の等号が成り立てばよい。よって とおく。 のとき、 であり、最大でも1である。 のとき、 である。平方完成すると であるから、この範囲では のとき最大値 をとる。このとき である。 のとき、 であり、最大でも1である。
したがって全体で最大になるのは であり、そのときの最大値は である。
解法2（下側包絡線を最大化）
(1)
平方完成すると
頂点と区間 の位置関係から
である。
(2)
を増やすと も同じだけ増えるため、最大時には である。 を代入すると
左右の範囲では 、中央では のとき である。ゆえに
