北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
共有点の $x$ 座標は $x^3+p{x}^2+x=x^2$ を満たす。整理すると $x\{x^2+(p-1)x+1\}=0$ である。$x=0$ は範囲 $x>0$ に含まれないので、$x>0$ の共有点が2個あるためには、2次方程式 $x^2+(p-1)x+1=0$ が異なる2つの正の解をもてばよい。

この2次方程式の2解の積は1である。したがって2解が実数なら、2解は同符号である。さらに2解が正であるためには、2解の和 $1-p$ が正である必要がある。また、異なる実数解をもつためには判別式より $(p-1{)}^2-4>0$ が必要である。 $1-p>0$ と $(p-1{)}^2>4$ を合わせると $1-p>2$ となる。よって $p<-1$ である。

(2)
2つの正の解を $0<\alpha <\beta$ とする。このとき、解と係数の関係より $$\alpha \beta =1,\alpha +\beta =1-p$$ である。また $$C_1-C_2=x^3+p{x}^2+x-x^2=x\{x^2+(p-1)x+1\}=x(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。 $0<x<\alpha$ では $$x(x-\alpha )(x-\beta )>0$$ なので $C_1$ が $C_2$ より上にある。$\alpha <x<\beta$ では $$x(x-\alpha )(x-\beta )<0$$ なので $C_2$ が $C_1$ より上にある。したがって条件 $S_1=S_2$ は$${\int }_0^{\alpha }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\int }_{\alpha }^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx$$と同値である。これは $${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$$ と書ける。 $\alpha \beta =1$ より $\alpha =1\mathrm{/}\beta$ である。そこで積分を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta }\{x^3-(\alpha +\beta )x^2+\alpha \beta x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^4}{4}-\frac{(\alpha +\beta ){\beta }^3}{3}+\frac{{\beta }^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^4}{4}-\frac{(\beta +1\mathrm{/}\beta ){\beta }^3}{3}+\frac{{\beta }^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^2(2-{\beta }^2)}{12}}\end{array}$$である。$\beta >0$ なので ${\beta }^2=2$ となり、$$\beta =\sqrt{2},\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$$ である。

よって $$1-p=\alpha +\beta =\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ であり、$$p=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ である。このとき $$S_1={\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}x(x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x-\sqrt{2})dx$$ である。上と同じ展開を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle =\frac{{\alpha }^4}{4}-\frac{(\alpha +\beta ){\alpha }^3}{3}+\frac{{\alpha }^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{16}}\end{array}$$である。

正の2解の積 $\alpha \beta =1$ を使い、$x=\alpha u$ と置いて横軸を無次元化する。等面積条件を $0$ から $\beta$ までの符号付き積分が0という1本の式へまとめる。

(1)
正の共有点は$$x^2+(p-1)x+1=0$$の異なる2正根である。積が1、和が $1-p$ であるから、判別式と和の正値条件を合わせて $p<-1$ を得る。

(2)
根を $0<\alpha <\beta$ とすれば$$\alpha \beta =1,C_1-C_2=x(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{.}$$符号は $(0,\alpha )$ で正、$(\alpha ,\beta )$ で負なので、$S_1=S_2$ は$${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$$と同値である。$x=\alpha u$、$$r=\beta \mathrm{/}\alpha =1\mathrm{/}{\alpha }^2$$ と置くと、正の定数因子を除いて$${\int }_0^{r}u(u-1)(u-r)du=\frac{r^3(2-r)}{12}=0.$$$r>1$ だから $r=2$。ゆえに $\alpha =1\mathrm{/}\sqrt{2}$、$\beta =\sqrt{2}$ であり、$$p=1-(\alpha +\beta )=1-\frac{3\sqrt{2}}{2},S_1=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$