北海道大学 2018年度
文系数学 前期 第4問

解答

解法1

(1)

共有点の $x$ 座標は $x^3+p{x}^2+x=x^2$ を満たす。整理すると $x\{x^2+(p-1)x+1\}=0$ である。$x=0$ は範囲 $x>0$ に含まれないので、$x>0$ の共有点が2個あるためには、2次方程式 $x^2+(p-1)x+1=0$ が異なる2つの正の解をもてばよい。

この2次方程式の2解の積は1である。したがって2解が実数なら、2解は同符号である。さらに2解が正であるためには、2解の和 $1-p$ が正である必要がある。また、異なる実数解をもつためには判別式より $(p-1{)}^2-4>0$ が必要である。 $1-p>0$ と $(p-1{)}^2>4$ を合わせると $1-p>2$ となる。よって $p<-1$ である。

(2)

2つの正の解を $0<\alpha <\beta$ とする。このとき、解と係数の関係より $\alpha \beta =1,\alpha +\beta =1-p$ である。また $C_1-C_2=x^3+p{x}^2+x-x^2=x\{x^2+(p-1)x+1\}=x(x-\alpha )(x-\beta )$ である。 $0<x<\alpha$ では $x(x-\alpha )(x-\beta )>0$ なので $C_1$ が $C_2$ より上にある。$\alpha <x<\beta$ では $x(x-\alpha )(x-\beta )<0$ なので $C_2$ が $C_1$ より上にある。したがって条件 $S_1=S_2$ は

と同値である。これは ${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$ と書ける。 $\alpha \beta =1$ より $\alpha =1/\beta$ である。そこで積分を計算すると

である。$\beta >0$ なので ${\beta }^2=2$ となり、$\beta =\sqrt{2},\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

よって $1-p=\alpha +\beta =\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ であり、$p=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ である。このとき $S_1={\int }_0^{1/\sqrt{2}}x\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(x-\sqrt{2})dx$ である。上と同じ展開を用いて

である。

解法2（相似変換で面積を無次元化）

(1)

正の共有点は

の異なる2正根である。積が1、和が $1-p$ であるから、判別式と和の正値条件を合わせて $p<-1$ を得る。

(2)

根を $0<\alpha <\beta$ とすれば

符号は $(0,\alpha )$ で正、$(\alpha ,\beta )$ で負なので、$S_1=S_2$ は

と同値である。$x=\alpha u$、$r=\beta /\alpha =1/{\alpha }^2$ と置くと、正の定数因子を除いて

$r>1$ だから $r=2$。ゆえに $\alpha =1/\sqrt{2}$、$\beta =\sqrt{2}$ であり、