問題
赤色，青色，黄色のサイコロを1つずつ同時に投げ，出た目をそれぞれ とする。自然数 を
で定める。
(1) のうち少なくとも2つが500以上となる確率を求めよ。
(2) となる確率を求めよ。
方針
解法1
(1)は3桁数の百の位だけを見ればよい。、、 はそれぞれ 、、 と同値なので、3個の独立な事象のうち少なくとも2個が起こる確率を数える。(2)は3桁数の大小比較を出目の条件へ翻訳する。 と を百の位から順に比較すると、条件は にまとまるので、その整数組を数える。
解法2（全216通りの分類）
3個のサイコロの出方 を216通りの等確率な標本点として直接数える。(1)は各成分が かで分類し、(2)は中央の値 を固定して条件を満たす組数を表にする。
解答
解法1
(1)
であり、 は1から6までの整数である。したがって となることは、百の位である が5以上であることと同値である。同様に
である。
各サイコロについて、出た目が5以上である確率は である。したがって、3つのうちちょうど2つが500以上となる確率は であり、3つすべてが500以上となる確率は である。よって求める確率は
である。
(2)
まず を考える。 という3桁数の比較である。百の位を比べると、 なら 、 なら である。 のときだけ十の位を比べればよく、この場合は のとき である。
同様に は、3桁数 と の比較であり、 なら成り立つ。 の場合は十の位で が必要だが、これは後で得る条件とは両立しない。
以上を合わせると、 が成り立つ条件は である。実際、 なら百の位の比較だけで であり、 なら は十の位で決まり、 は百の位で決まる。
したがって、 を固定すると は の 通り、 は の 通りである。よって条件を満たす組の数は である。全事象は 通りだから、求める確率は である。
解法2（全216通りの分類）
全事象は順序付き三つ組 の 通りである。
(1)
500以上かどうかは百の位だけで決まる。ちょうど2成分が5以上となる組は
通り、3成分とも5以上となる組は 通りである。したがって
(2)
桁を左から比較すると、必要十分条件は である。 を固定したとき、 は 通り、 は 通りなので
となる。合計は35通りであり、求める確率は
である。 も含むことに注意する。