問題
を自然数とする。
(1) 次の等式を示せ。
(2) とおく。は整数であることを示せ。また，をで割った余りはであることを示せ。
(3) 実数に対し，はを超えない最大の整数を表す。をで割った余りを求めよ。
出典：北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
解法1
(1)は等比数列型の恒等式であり、左辺を展開して隣り合う項が打ち消し合うことを示す。(2)では 、 を(1)に代入する。得られる和の形から が整数であることが分かり、 で割った余りは最後の項 だけが残る。(3)では分数を と正の真分数の和に分け、床関数の値が そのものになることを示す。
解法2（合同式で余りを直読）
恒等式から を有限和に直し、 を法とする合同式で最後の項だけを残す。床関数については元の分数と整数 の差が にあることだけを確認する。
解答
解法1
(1)
左辺を展開する。
である。中間の項はすべて打ち消し合い、 だけが残る。よって である。
(2)
(1)で とおくと
である。左辺は であり、右辺は整数の和である。したがって は整数である。
さらに右辺を で割った余りを考える。最後の項 以外の項はすべて を因数にもつので、 で割り切れる。また自然数 について である。したがって を で割った余りは である。
(3)
である。ここで は自然数なので が成り立つ。実際、 では であり、 では である。
したがって である。(2)より、 を で割った余りは であったから、求める余りは である。
解法2（合同式で余りを直読）
(1)
左辺を展開すると中間項が相殺し、 だけが残る。
(2)
(1)で とすれば
よって は整数であり、
しかも だから余りは である。
(3)
右端の分数は より大きく より小さい。したがって床は に等しく、その による余りも である。