北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
左辺を展開する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^{n+1}+a^{n}b+a^{n-1}{b}^2+\cdots +a^2{b}^{n-1}+a{b}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(a^{n}b+a^{n-1}{b}^2+\cdots +a^2{b}^{n-1}+a{b}^n+b^{n+1})}\end{array}$$である。中間の項はすべて打ち消し合い、$a^{n+1}-b^{n+1}$ だけが残る。よって $$(a-b)(a^n+a^{n-1}b+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n)=a^{n+1}-b^{n+1}$$ である。

(2)
(1)で $a={10}^n,b=2$ とおくと$$\frac{({10}^n{)}^{n+1}-2^{n+1}}{{10}^n-2}=({10}^n{)}^n+({10}^n{)}^{n-1}2+\cdots +{10}^n\cdot 2^{n-1}+2^n$$である。左辺は $w$ であり、右辺は整数の和である。したがって $w$ は整数である。

さらに右辺を ${10}^n$ で割った余りを考える。最後の項 $2^n$ 以外の項はすべて ${10}^n$ を因数にもつので、${10}^n$ で割り切れる。また自然数 $n$ について $0<2^n<{10}^n$ である。したがって $w$ を ${10}^n$ で割った余りは $2^n$ である。

(3) $$\frac{{10}^{n(n+1)}}{{10}^n-2}=\frac{{10}^{n(n+1)}-2^{n+1}}{{10}^n-2}+\frac{2^{n+1}}{{10}^n-2}=w+\frac{2^{n+1}}{{10}^n-2}$$である。ここで $n$ は自然数なので $$0<\frac{2^{n+1}}{{10}^n-2}<1$$ が成り立つ。実際、$n=1$ では $4<8$ であり、$n\geqq 2$ では $2^{n+1}<{10}^n-2$ である。

したがって $$\left[\frac{{10}^{n(n+1)}}{{10}^n-2}\right]=w$$ である。(2)より、$w$ を ${10}^n$ で割った余りは $2^n$ であったから、求める余りは $2^n$ である。

恒等式から $w$ を有限和に直し、${10}^n$ を法とする合同式で最後の項だけを残す。床関数については元の分数と整数 $w$ の差が $(0,1)$ にあることだけを確認する。

(1)
左辺を展開すると中間項が相殺し、$a^{n+1}-b^{n+1}$ だけが残る。

(2)
(1)で $a={10}^n,b=2$ とすれば$$w=({10}^n{)}^n+2({10}^n{)}^{n-1}+\cdots +2^{n-1}{10}^n+2^n\mathrm{.}$$よって $w$ は整数であり、$$w\equiv 2^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{10}^n)\mathrm{.}$$しかも $0<2^n<{10}^n$ だから余りは $2^n$ である。

(3) $$\frac{{10}^{n(n+1)}}{{10}^n-2}=w+\frac{2^{n+1}}{{10}^n-2}\mathrm{.}$$右端の分数は $0$ より大きく $1$ より小さい。したがって床は $w$ に等しく、その ${10}^n$ による余りも $2^n$ である。