北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
はじめ袋には赤玉が $a$ 個だけ入っている。1回目の試行では必ず赤玉を取り出すので、青玉が1個追加され、取り出した赤玉も戻される。したがって1回目の試行後、袋には赤玉 $a$ 個、青玉1個が入っている。

2回目の試行で赤玉を取り出す確率は $\frac{a}{a+1}$ である。この場合、青玉が1個追加されるので、赤玉の個数は $a$ のままである。一方、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{1}{a+1}$ であり、この場合は赤玉が1個追加され、赤玉の個数は $a+1$ になる。

よって $$p_2(a)=\frac{a}{a+1},p_2(a+1)=\frac{1}{a+1}$$ であり、それ以外の $k$ では $p_2(k)=0$ である。

(2) $n$ 回目の試行後には、袋の中の玉は全部で $a+n$ 個である。 $n+1$ 回目の試行後に赤玉が $k+1$ 個になるには、次の2通りがある。まず、$n$ 回目の試行後に赤玉が $k$ 個で、次に青玉を取り出す場合である。このとき青玉の個数は $a+n-k$ 個なので、その確率は $\frac{a+n-k}{a+n}$ である。したがって $$B=\frac{a+n-k}{a+n}$$ である。

もう1つは、$n$ 回目の試行後に赤玉が $k+1$ 個で、次に赤玉を取り出す場合である。この場合、赤玉の個数は増えず $k+1$ 個のままである。その確率は $\frac{k+1}{a+n}$ である。したがって $$C=\frac{k+1}{a+n}$$ である。よって $$B=\frac{a+n-k}{a+n},C=\frac{k+1}{a+n}$$ である。

(3) $n$ 回目の試行後の赤玉の個数を $K$ とする。このとき袋の総数は $a+n$ 個であり、青玉の個数は $a+n-K$ 個である。次の試行で青玉を取り出すと赤玉が1個増え、赤玉を取り出すと赤玉の個数は変わらない。したがって、$K$ が与えられたとき、次回後の赤玉数の期待値は $K+\frac{a+n-K}{a+n}$ である。

期待値を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M_{n+1}}& {\displaystyle =M_n+\frac{a+n-M_n}{a+n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a+n-1}{a+n}{M}_n+1}\end{array}$$である。また(1)の前に述べた通り、1回目の試行後の赤玉の個数は必ず $a$ なので $M_1=a$ である。

(4)
漸化式 $$M_{n+1}=\frac{a+n-1}{a+n}{M}_n+1$$ を繰り返して解く。$j=1,2,\dots ,n-1$ で現れる係数 $\frac{a+j-1}{a+j}$ の積は望遠鏡型に消える。 $M_1=a$ の寄与は $$a\cdot \frac{a}{a+n-1}=\frac{a^2}{a+n-1}$$ である。また、$r$ 回目から加わる定数1の寄与は、最後まで進む間に $\frac{a+r}{a+n-1}$ 倍される。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M_n}& {\displaystyle =\frac{a^2}{a+n-1}+\sum _{r=1}^{n-1}\frac{a+r}{a+n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2+(n-1)a+\frac{n(n-1)}{2}}{a+n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a+\frac{n(n-1)}{2(a+n-1)}}\end{array}$$である。よって $$M_n=a+\frac{n(n-1)}{2(a+n-1)}$$ である。

さらに $$\frac{M_n}{n}=\frac{a}{n}+\frac{n-1}{2(a+n-1)}$$ だから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M_n}{n}=\frac{1}{2}$$ である。

赤玉数を確率変数 $X_n$ とし、次の1回で増える指示変数を加える。条件付き期待値から漸化式を出した後、$N_n=(a+n-1)M_n$ と置けば階差が単純な等差数列になる。

(1)
1回目後は赤 $a$ 個、青1個である。したがって$$p_2(a)=\frac{a}{a+1},p_2(a+1)=\frac{1}{a+1}$$で、他は0である。

(2)
直前に赤玉が $k$ 個で青を引く経路と、直前に $k+1$ 個で赤を引く経路を分けると$$B=\frac{a+n-k}{a+n},C=\frac{k+1}{a+n}\mathrm{.}$$(3)
$n$ 回目後の赤玉数を $X_n$ とする。次に赤玉が1個増える条件付き確率は$$\frac{a+n-X_n}{a+n}\mathrm{.}$$よって$$M_{n+1}=M_n+E\left[\frac{a+n-X_n}{a+n}\right]=\frac{a+n-1}{a+n}{M}_n+1.$$また $M_1=a$ である。

(4)
$N_n=(a+n-1)M_n$ と置く。漸化式の両辺に $a+n$ を掛けると$$N_{n+1}-N_n=a+n,N_1=a^2\mathrm{.}$$したがって$$N_n=a^2+\sum _{j=1}^{n-1}(a+j)=a(a+n-1)+\frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$ゆえに$$M_n=a+\frac{n(n-1)}{2(a+n-1)},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M_n}{n}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$