北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2}& {\displaystyle =1+\frac{1}{4}(e^x-e^{-x}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}(e^x+e^{-x}{)}^2}\end{array}$$である。$f(x)>0$ なので $$\sqrt{1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=f(x)$$ である。

よって曲線の長さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L(s)}& {\displaystyle ={\int }_0^{\log s}\sqrt{1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\log s}\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})]}_0^{\log s}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(s-\frac{1}{s})}\end{array}$$である。

(2)
点 $P$ の座標は $P(\log s,\frac{1}{2}(s+\frac{1}{s}))$ である。また、接線 $l$ の傾きは $$f^{\mathrm{\prime }}(\log s)=\frac{1}{2}(s-\frac{1}{s})=L(s)$$ である。これを $$m=\frac{1}{2}(s-\frac{1}{s})=\frac{s^2-1}{2s}$$ とおく。

接線方向のベクトルは $(1,m)$ であり、その長さは$$\sqrt{1+m^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{s^2-1}{2s}\right)}^2}=\frac{s^2+1}{2s}$$である。$Q$ は $v<\log s$ を満たすので、$P$ から左向きに接線上を距離 $L(s)=m$ だけ進む。したがって、$x$ 座標の減少量は $$\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{s^2-1}{s^2+1}$$ であり、$y$ 座標の減少量は $$\frac{m^2}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{(s^2-1{)}^2}{2s(s^2+1)}$$ である。

よって $$v=\log s-\frac{s^2-1}{s^2+1}$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle w}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(s+\frac{1}{s})-\frac{(s^2-1{)}^2}{2s(s^2+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{s^2+1}{2s}-\frac{(s^2-1{)}^2}{2s(s^2+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2s}{s^2+1}}\end{array}$$である。

(3)
(2)より $$R=(-v+\log s,w)=(\frac{s^2-1}{s^2+1},\frac{2s}{s^2+1})$$ である。$R=(X,Y)$ とおくと $$X=\frac{s^2-1}{s^2+1},Y=\frac{2s}{s^2+1}$$ である。したがって $$X^2+Y^2=\frac{(s^2-1{)}^2+4s^2}{(s^2+1{)}^2}=1$$ である。

また $s>1$ なので $0<X<1,0<Y<1$ である。逆に、単位円の第1象限部分で $0<X<1$、$0<Y<1$ を満たす点は、$X$ が $0$ から $1$ まで動くのに対応して一意に $s>1$ で表される。

したがって軌跡は、単位円 $x^2+y^2=1$ の第1象限の円弧のうち、端点 $(0,1),(1,0)$ を除いた部分である。

$f=\cosh x$、$f^{\mathrm{\prime }}=\sinh x$ と見て曲線長を処理する。接線上の移動は単位方向ベクトルで求め、最後の有理式を三角関数の半角公式に対応させて軌跡を直読する。

(1)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x-e^{-x})\mathrm{/}2$ であり$$1+f^{\mathrm{\prime }}(x{)}^2=f(x{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$L(s)={\int }_0^{\log s}f(x)dx=\frac{1}{2}(s-\frac{1}{s})\mathrm{.}$$(2)
接線の傾きも $L(s)$ である。接線の左向き単位ベクトルに距離 $L(s)$ を掛けて $P$ から引くと$$v=\log s-\frac{s^2-1}{s^2+1},w=\frac{2s}{s^2+1}\mathrm{.}$$(3)
$R=(X,Y)$ とすれば$$X=\frac{s^2-1}{s^2+1},Y=\frac{2s}{s^2+1}\mathrm{.}$$$\tan (\theta \mathrm{/}2)=1\mathrm{/}s$ と置くと $s>1$ より $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ であり、半角公式から$$X=\cos \theta ,Y=\sin \theta \mathrm{.}$$ゆえに軌跡は単位円の第1象限の円弧から端点 $(0,1),(1,0)$ を除いた部分である。