北海道大学 2018年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

とし、曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする。 $s > 1$ とし、 $0 ≦ x ≦ lo g s$ における $C$ の長さを $L (s)$ とする。

(1) $L (s)$ を $s$ で表せ。

(2) $x = lo g s$ に対応する $C$ 上の点を $P$ 、そこでの接線を $l$ とする。 $Q (v, w)$ は $l$ 上にあり、 $v < lo g s$ 、 $P Q = L (s)$ を満たす。 $v, w$ を $s$ で表せ。

(3) $s > 1$ が動くとき、点

R (- v + lo g s, w)

の軌跡を図示せよ。

出典：北海道大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

解法1

$f (x)$ は双曲線関数型だが、必要なのは $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ と $1 + f^{'} (x)^{2} = f (x)^{2}$ という恒等的な整理である。(1)は曲線長の公式からすぐに積分できる。(2)では点 $P$ の座標、接線の傾き、接線方向の単位ベクトルを求め、距離 $L (s)$ だけ左向きに進むことで $Q$ を出す。(3)は $R = (- v + lo g s, w)$ の座標が $((s^{2} - 1) / (s^{2} + 1), 2 s / (s^{2} + 1))$ となるので、単位円の第1象限の開いた円弧であることを示す。

解法2（双曲線関数と半角表示）

$f = cosh x$ 、 $f^{'} = sinh x$ と見て曲線長を処理する。接線上の移動は単位方向ベクトルで求め、最後の有理式を三角関数の半角公式に対応させて軌跡を直読する。

解答

解法1

(1)

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ より $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ である。したがって

1 + {f^{'} (x)}^{2} = 1 + \frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})^{2} = \frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x})^{2}

である。 $f (x) > 0$ なので $1 + {f^{'} (x)}^{2} = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = f (x)$ である。

よって曲線の長さは

L (s) = \int_{0}^{l o g s} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x = \int_{0}^{l o g s} \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) d x = [\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})]_{0}^{l o g s} = \frac{1}{2} (s - \frac{1}{s})

である。

(2)

点 $P$ の座標は $P (lo g s, \frac{1}{2} (s + \frac{1}{s}))$ である。また、接線 $l$ の傾きは $f^{'} (lo g s) = \frac{1}{2} (s - \frac{1}{s}) = L (s)$ である。これを $m = \frac{1}{2} (s - \frac{1}{s}) = \frac{s ^{2} - 1}{2 s}$ とおく。

接線方向のベクトルは $(1, m)$ であり、その長さは

1 + m^{2} = 1 + (\frac{s ^{2} - 1}{2 s})^{2} = \frac{s ^{2} + 1}{2 s}

である。 $Q$ は $v < lo g s$ を満たすので、 $P$ から左向きに接線上を距離 $L (s) = m$ だけ進む。したがって、 $x$ 座標の減少量は $\frac{m}{1 + m ^{2}} = \frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}$ であり、 $y$ 座標の減少量は $\frac{m ^{2}}{1 + m ^{2}} = \frac{( s ^{2} - 1 ) ^{2}}{2 s ( s ^{2} + 1 )}$ である。

よって $v = lo g s - \frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}$ である。また

w = \frac{1}{2} (s + \frac{1}{s}) - \frac{( s ^{2} - 1 ) ^{2}}{2 s ( s ^{2} + 1 )} = \frac{s ^{2} + 1}{2 s} - \frac{( s ^{2} - 1 ) ^{2}}{2 s ( s ^{2} + 1 )} = \frac{2 s}{s ^{2} + 1}

である。

(3)

(2)より $R = (- v + lo g s, w) = (\frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}, \frac{2 s}{s ^{2} + 1})$ である。 $R = (X, Y)$ とおくと $X = \frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}, Y = \frac{2 s}{s ^{2} + 1}$ である。したがって $X^{2} + Y^{2} = \frac{( s ^{2} - 1 ) ^{2} + 4 s ^{2}}{( s ^{2} + 1 ) ^{2}} = 1$ である。

また $s > 1$ なので $0 < X < 1, 0 < Y < 1$ である。逆に、単位円の第1象限部分で $0 < X < 1$ 、 $0 < Y < 1$ を満たす点は、 $X$ が $0$ から $1$ まで動くのに対応して一意に $s > 1$ で表される。

したがって軌跡は、単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の第1象限の円弧のうち、端点 $(0, 1), (1, 0)$ を除いた部分である。

解法2（双曲線関数と半角表示）

(1)

$f^{'} (x) = (e^{x} - e^{- x}) /2$ であり

1 + f^{'} (x)^{2} = f (x)^{2} .

したがって

L (s) = \int_{0}^{l o g s} f (x) d x = \frac{1}{2} (s - \frac{1}{s}) .

(2)

接線の傾きも $L (s)$ である。接線の左向き単位ベクトルに距離 $L (s)$ を掛けて $P$ から引くと

v = lo g s - \frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}, w = \frac{2 s}{s ^{2} + 1} .

(3)

$R = (X, Y)$ とすれば

X = \frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1}, Y = \frac{2 s}{s ^{2} + 1} .

$tan (θ /2) = 1/ s$ と置くと $s > 1$ より $0 < θ < π /2$ であり、半角公式から

X = cos θ, Y = sin θ .

ゆえに軌跡は単位円の第1象限の円弧から端点 $(0, 1), (1, 0)$ を除いた部分である。

北海道大学 2018年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解法1

解法2（双曲線関数と半角表示）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（双曲線関数と半角表示）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2018年度
後期・理系数学後期第4問