北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $\mathrm{△}OPQ$ は、$O=0$、$P=2$、$Q=2z$ であり、$z$ の虚部が正なので辺 $OP$ の上側にある。したがって、辺 $OP$ の外側に作る正三角形の第3頂点は $R=1-\sqrt{3}i$ である。よって $$U=\frac{0+2+R}{3}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}i$$ である。

次に辺 $PQ$ に外側の正三角形を作る。$P$ から $Q$ へのベクトルは $2z-2$ であり、外側になる向きに $-{60}^{\circ }$ 回転するので $$S=2+(2z-2)\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{2+2z+S}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{\sqrt{3}}{3}i+(1-\frac{\sqrt{3}}{3}i)z}\end{array}$$である。

最後に辺 $QO$ に外側の正三角形を作ると、第3頂点は $$T=2z\cdot \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ である。よって $$W=\frac{2z+0+T}{3}=(1+\frac{\sqrt{3}}{3}i)z$$ である。以上より $$U=1-\frac{\sqrt{3}}{3}i$$ $$V=1+\frac{\sqrt{3}}{3}i+(1-\frac{\sqrt{3}}{3}i)z$$ $$W=(1+\frac{\sqrt{3}}{3}i)z$$ である。

(2)
(1)の式から $$V-U=\frac{2\sqrt{3}}{3}i+(1-\frac{\sqrt{3}}{3}i)z$$ であり、$$W-U=(1+\frac{\sqrt{3}}{3}i)z-1+\frac{\sqrt{3}}{3}i$$ である。直接整理すると $$W-U=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}(V-U)$$ が成り立つ。

ここで $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ は絶対値1、偏角 $\frac{\pi }{3}$ の複素数である。したがって、ベクトル $\overrightarrow{UW}$ はベクトル $\overrightarrow{UV}$ を長さを変えずに ${60}^{\circ }$ 回転したものである。よって $UV=UW$ かつ $$\mathrm{\angle }VUW=\frac{\pi }{3}$$ であるから、$\mathrm{△}UVW$ は正三角形である。

(3) $\mathrm{△}UVW$ の重心を $G$ とする。複素数で表すと $$G=\frac{U+V+W}{3}$$ である。(1)の式を加えると $U+V+W=2+2z$ であるから $G=\frac{2}{3}(z+1)$ である。

条件 $\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}$ を $G$ の式へ移す。$z=\frac{3}{2}G-1$ なので $$\mid \frac{3}{2}G-1-i\mid =\frac{1}{2}$$ である。両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けると $$\mid G-\frac{2}{3}(1+i)\mid =\frac{1}{3}$$ となる。

したがって $G$ の軌跡は、中心 $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i$ 半径 $\frac{1}{3}$ の円である。与えられた $z$ の円は全体が上半平面にあるので、軌跡もこの円周全体である。

正三角形の第3頂点を60度回転で表し、重心差だけを計算する。$\overrightarrow{UW}$ が $\overrightarrow{UV}$ の60度回転であることを一つの式で示す。最後は重心の一次変換として円の中心と半径を写す。

正三角形の外向き60度回転を用いて各重心を計算すると$$U=1-\frac{\sqrt{3}}{3}i,$$$$V=1+\frac{\sqrt{3}}{3}i+(1-\frac{\sqrt{3}}{3}i)z,W=(1+\frac{\sqrt{3}}{3}i)z\mathrm{.}$$これらの差を取ると$$W-U=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}(V-U)\mathrm{.}$$係数の絶対値は1、偏角は $\pi \mathrm{/}3$ なので、$UW=UV$ かつ $\mathrm{\angle }VUW=\pi \mathrm{/}3$。よって三角形 $UVW$ は正三角形である。

また、その重心は$$G=\frac{U+V+W}{3}=\frac{2}{3}(z+1)\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}⟺\mid G-\frac{2}{3}(1+i)\mid =\frac{1}{3}\mathrm{.}$$軌跡は中心 $2\mathrm{/}3+2i\mathrm{/}3$、半径 $1\mathrm{/}3$ の円周全体である。