Evolton

北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

pを負の実数とする。座標空間に原点Oと3点A(−1, 2, 0)，B(2, −2, 1)，
P(p, −1, 2)があり，3点O，A，Bが定める平面をαとする。
また，点Pから平面αに垂線を下ろし，αとの交点をQとする。

(1) OQ→=aOA→+bOB→となる実数a，bを
pを用いて表せ。

(2) 点Qが△OABの周または内部にあるようなpの範囲を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安15分

ベクトル、図形と方程式　座標設定、内積の利用、範囲評価

方針

点 Q は平面 α 上にあるので、OQ→=aOA→+bOB→ とおける。垂線の足であることは、PQ→ が平面内の2方向 OA→,OB→ の両方に垂直であることに言い換える。これで a,b の連立一次方程式を作り、最後に三角形 OAB の周または内部にある条件 a≧0,b≧0,a+b≦1 を適用する。

解答

(1) OA→=(−1,2,0),OB→=(2,−2,1),OP→=(p,−1,2)である。点 Q は平面 α 上にあるから OQ→=aOA→+bOB→ とおける。このとき OQ→=(−a+2b, 2a−2b, b) である。 Q は P から平面 α へ下ろした垂線の足なので、PQ→=OQ→−OP→ は平面 α に垂直である。したがって(OP→−OQ→)⋅OA→=0,(OP→−OQ→)⋅OB→=0である。ここで OP→−OQ→=(p+a−2b, −1−2a+2b, 2−b) だから、内積を計算して −p−2−5a+6b=0、2p+4+6a−9b=0 を得る。これを解くと a=p+23,b=4p+89 である。

(2) Q が三角形 OAB の周または内部にあることは、係数表示 OQ→=aOA→+bOB→ において a≧0,b≧0,a+b≦1 が成り立つことと同値である。

(1) の結果を代入すると、まず p+23≧0 より p≧−2 であり、4p+89≧0 からも同じく p≧−2 を得る。また a+b=p+23+4p+89=7(p+2)9 なので、a+b≦1 は 7(p+2)9≦1 すなわち p≦−57 である。もともと p は負の実数であり、この範囲はその条件も満たす。よって求める範囲は −2≦p≦−57 である。

別解

解法2（平面方程式から射影する）

方針

平面の法線ベクトルを、OA→,OB→ の両方と内積が0になる条件から求める。点 P から法線方向へ動かして垂線の足 Q を出し、その座標を平面内の係数 a,b に戻す。

解答

(1)

法線ベクトルを (u,v,w) とすると−u+2v=0,2u−2v+w=0であるから、(u,v,w)=(2,1,−2) と取れる。平面 α は原点を通るので2x+y−2z=0である。点 Q をQ=P+λ(2,1,−2)とおき、平面の式へ代入すると2(p+2λ)+(−1+λ)−2(2−2λ)=0より λ=(5−2p)/9 である。したがってQ=(5p+109,−2p+49,4p+89).一方、Q=(−a+2b,2a−2b,b)だから、第3成分と第2成分を順に比較してb=4p+89,a=p+23.(2)

三角形 OAB の周または内部にある条件はa≧0,b≧0,a+b≦1.上の値を代入するとp≧−2,p≧−2,7(p+2)9≦1.よって−2≦p≦−57である。

総評

難度6、目安時間15分。射影点を平面内の基底 OA→,OB→ で表し、垂直条件を内積2本に直すのが中心である。計算量は標準的だが、OP→−OQ→ と OQ→−OP→ の向きが混ざっても内積0の条件は同じなので、式の符号を途中で一貫させることが重要である。最後は三角形内部の条件を a,b の非負性と a+b≦1 で処理する。p<0 は最終範囲が自動的に満たしているが、確認を一言添えると答案が安定する。

冊子PDFで見る北大のベクトルの問題で問題集を作る

出典: 北海道大学 2019年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。