問題
を負の実数とする。座標空間に原点と3点，，があり，3点，，が定める平面をとする。また，点から平面に垂線を下ろし，との交点をとする。
(1) となる実数，をを用いて表せ。
(2) 点がの周または内部にあるようなの範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
解法1（平面内の係数と垂直条件を使う）
点 は平面 上にあるので、 とおける。垂線の足であることは、 が平面内の2方向 の両方に垂直であることに言い換える。これで の連立一次方程式を作り、最後に三角形 の周または内部にある条件 を適用する。
解法2（平面方程式から射影する）
平面の法線ベクトルを、 の両方と内積が0になる条件から求める。点 から法線方向へ動かして垂線の足 を出し、その座標を平面内の係数 に戻す。
解答
解法1（平面内の係数と垂直条件を使う）
(1)
である。点 は平面 上にあるから とおける。このとき である。 は から平面 へ下ろした垂線の足なので、 は平面 に垂直である。したがって
である。ここで だから、内積を計算して 、 を得る。これを解くと である。
(2)
が三角形 の周または内部にあることは、係数表示 において が成り立つことと同値である。
(1)の結果を代入すると、まず より であり、 からも同じく を得る。また なので、 は すなわち である。もともと は負の実数であり、この範囲はその条件も満たす。よって求める範囲は である。
解法2（平面方程式から射影する）
(1)
法線ベクトルを とすると
であるから、 と取れる。平面 は原点を通るので
である。点 を
とおき、平面の式へ代入すると
より である。したがって
一方、
だから、第3成分と第2成分を順に比較して
(2)
三角形 の周または内部にある条件は
上の値を代入すると
よって
である。