北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $g(x)=mx+n$ とおく。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6ax+b$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)-6x=(3x^2-6ax+b)(mx+n)-6x$$ である。これが $f(x)=x^3-3a{x}^2+bx+c$ に恒等的に等しいので、係数を比較する。 $x^3$ の係数から $3m=1$ より $m=\frac{1}{3}$ である。$x^2$ の係数から $3n-6am=-3a$ であり、$m=\frac{1}{3}$ を代入して $3n-2a=-3a$ すなわち $$n=-\frac{a}{3}$$ を得る。 $x$ の係数を比べると $bm-6an-6=b$ である。ここに $$m=\frac{1}{3},n=-\frac{a}{3}$$ を代入して $$\frac{b}{3}+2a^2-6=b$$ となるので $b=3a^2-9=3(a^2-3)$ である。最後に定数項から $$c=bn=3(a^2-3)(-\frac{a}{3})=-a(a^2-3)$$ である。したがって $$b=3(a^2-3),c=-a(a^2-3)$$ である。

(2)
(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^3-3a{x}^2+3(a^2-3)x-a(a^2-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a{)}^3-9x+3a}\end{array}$$である。$u=x-a$ とおくと、$x=u+a$ だから $f(x)=u^3-9u-6a$ となる。よって方程式 $f(x)=0$ は $u^3-9u-6a=0$ と同値である。 $F(u)=u^3-9u-6a$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(u)=3u^2-9=3(u^2-3)$ である。したがって $F(u)$ は $u=-\sqrt{3}$ で極大、$u=\sqrt{3}$ で極小をとる。極大値は $$F(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-6a=6(\sqrt{3}-a)$$ であり、極小値は $$F(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}-6a=-6(\sqrt{3}+a)$$ である。

3次方程式が異なる3個の実数解をもつためには、極大値が正で、極小値が負であればよい。よって $$6(\sqrt{3}-a)>0,-6(\sqrt{3}+a)<0$$ であり、これは $$a<\sqrt{3},a>-\sqrt{3}$$ と同値である。端点では極値が0となり重解をもつため、「異なる3個」にはならない。したがって $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$ である。

係数比較で $b,c$ を決め、$u=x-a$ と平行移動する。方程式を固定した三次曲線 $y=u^3-9u$ と水平線 $y=6a$ の交点として判定する。

(1)

$g(x)=mx+n$ とおく。恒等式の係数比較から$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle 3m}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle 3n-6am}& {\displaystyle =-3a,}\\ {\displaystyle bm-6an-6}& {\displaystyle =b,}& {\displaystyle bn}& {\displaystyle =c\mathrm{.}}\end{array}$$上から順に解けば$$m=\frac{1}{3},n=-\frac{a}{3},b=3(a^2-3),c=-a(a^2-3)\mathrm{.}$$(2)

$u=x-a$ とおくと$$f(x)=u^3-9u-6a,$$したがって $f(x)=0$ は $u^3-9u=6a$ と同値である。$$h(u)=u^3-9u,h^{\mathrm{\prime }}(u)=3(u^2-3)$$より、$h$ の極大値は $6\sqrt{3}$、極小値は $-6\sqrt{3}$ である。よって水平線 $y=6a$ が異なる3点で交わる条件は$$-6\sqrt{3}<6a<6\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって$$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$$である。