問題
実数，，に対し，関数を考える。1次関数があり，とその導関数は，すべてのに対し等式を満たしているとする。
(1) とをで表せ。
(2) 3次方程式が異なる3個の実数解をもつように，の値の範囲を定めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
解法1（極大値・極小値の符号を見る）
とおいて恒等式を係数比較し、まず を順に決める。得られた は で平行移動すると という簡単な形になる。3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件は、極大値が正かつ極小値が負であることなので、端点で重解になる場合を除いて の範囲を出す。
解法2（三次関数と水平線の交点を見る）
係数比較で を決め、 と平行移動する。方程式を固定した三次曲線 と水平線 の交点として判定する。
解答
解法1（極大値・極小値の符号を見る）
(1)
とおく。 であるから である。これが に恒等的に等しいので、係数を比較する。 の係数から より である。 の係数から であり、 を代入して すなわち を得る。 の係数を比べると である。ここに を代入して となるので である。最後に定数項から である。したがって である。
(2)
(1)より
である。 とおくと、 だから となる。よって方程式 は と同値である。 とおくと である。したがって は で極大、 で極小をとる。極大値は であり、極小値は である。
3次方程式が異なる3個の実数解をもつためには、極大値が正で、極小値が負であればよい。よって であり、これは と同値である。端点では極値が0となり重解をもつため、「異なる3個」にはならない。したがって である。
解法2（三次関数と水平線の交点を見る）
(1)
とおく。恒等式の係数比較から
上から順に解けば
(2)
とおくと
したがって は と同値である。
より、 の極大値は 、極小値は である。よって水平線 が異なる3点で交わる条件は
したがって
である。
