北海道大学 2019年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$x$ を正の実数とし，座標平面上に3点 $A (x, 0)$ ， $B (- 2, 2)$ ， $C (- 3, 3)$ をとる。直線ABと直線ACのなす角を $θ$ とする。ただし， $0 < θ < \frac{π}{2}$ とする。

(1) $tan θ$ を $x$ で表せ。

(2) $x > 0$ における $tan θ$ の最大値およびそのときの $x$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

解法1（2直線の傾きから求める）

点Aから見た2直線 $A B, A C$ の傾きを求め、2直線のなす角の公式で $tan θ$ を作る。 $x > 0$ では分母が正で、角も鋭角とされているため、絶対値の外し方を確認する。得られた $\frac{x}{x ^{2} + 5 x + 12}$ を微分し、端で0に近づくことも見て最大値を確定する。

解法2（方向ベクトルの内積と面積比を使う）

2本の方向ベクトルのなす角について、「正弦に対応する行列式の絶対値」を「余弦に対応する内積」で割る。最大化は微分せず、分母を $x + 12/ x$ の相加平均・相乗平均で評価する。

解答

解法1（2直線の傾きから求める）

(1)

直線 $A B$ の傾きは $\frac{2 - 0}{- 2 - x} = - \frac{2}{x + 2}$ であり、直線 $A C$ の傾きは $\frac{3 - 0}{- 3 - x} = - \frac{3}{x + 3}$ である。これらをそれぞれ $m_{1}, m_{2}$ とおくと、2直線のなす角 $θ$ について $tan θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ である。 $x > 0$ より $(x + 2) (x + 3) > 0$ であり、 $m_{2} - m_{1} = - \frac{3}{x + 3} + \frac{2}{x + 2} = - \frac{x}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$ また $1 + m_{1} m_{2} = 1 + \frac{6}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} + 5 x + 12}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$ である。したがって $tan θ = \frac{x}{x ^{2} + 5 x + 12}$ である。

(2)

$T (x) = \frac{x}{x ^{2} + 5 x + 12} (x > 0)$ とおく。微分すると

T^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 5 x + 12 - x ( 2 x + 5 )}{( x ^{2} + 5 x + 12 ) ^{2}} = \frac{12 - x ^{2}}{( x ^{2} + 5 x + 12 ) ^{2}}

である。分母は正なので、 $T^{'} (x) > 0$ は $0 < x < 23$ 、 $T^{'} (x) < 0$ は $x > 23$ である。

また $x \to 0 + 0$ で $T (x) \to 0$ 、 $x \to \infty$ で $T (x) \to 0$ であるから、最大となるのは $x = 23$ のときである。このとき $T (23) = \frac{2 3}{24 + 10 3}$ であり、有理化すると

\frac{2 3}{24 + 10 3} \cdot \frac{24 - 10 3}{24 - 10 3} = \frac{4 3 - 5}{23}

となる。よって $x = 23, (tan θ)_{m a x} = \frac{4 3 - 5}{23}$ である。

解法2（方向ベクトルの内積と面積比を使う）

(1)

点 $A$ からの方向ベクトルを

u = A B = (- x - 2, 2), v = A C = (- x - 3, 3)

とする。 $0 < θ < π /2$ なので $u \cdot v > 0$ であり、

tan θ = \frac{∣ u _{1} v _{2} - u _{2} v _{1} ∣}{u \cdot v} = \frac{x}{( x + 2 ) ( x + 3 ) + 6} = \frac{x}{x ^{2} + 5 x + 12} .

(2)

tan θ = \frac{1}{x + 5 + \frac{12}{x}} .

$x > 0$ だから、相加平均・相乗平均の関係より

x + \frac{12}{x} ≧ 212 = 43

であり、等号は $x = 23$ のときに成立する。したがって

max tan θ = \frac{1}{5 + 4 3} = \frac{4 3 - 5}{23}, x = 23 .

北海道大学 2019年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1（2直線の傾きから求める）

解法2（方向ベクトルの内積と面積比を使う）

解答

解法1（2直線の傾きから求める）

(1)

(2)

解法2（方向ベクトルの内積と面積比を使う）

(1)

(2)

北海道大学 2019年度
文系数学前期第2問