北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直線 $AB$ の傾きは $$\frac{2-0}{-2-x}=-\frac{2}{x+2}$$ であり、直線 $AC$ の傾きは $$\frac{3-0}{-3-x}=-\frac{3}{x+3}$$ である。これらをそれぞれ $m_1,m_2$ とおくと、2直線のなす角 $\theta$ について $$\tan \theta =\mid \frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\mid$$ である。 $x>0$ より $(x+2)(x+3)>0$ であり、$$m_2-m_1=-\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+2}=-\frac{x}{(x+2)(x+3)}$$ また $$1+m_1{m}_2=1+\frac{6}{(x+2)(x+3)}=\frac{x^2+5x+12}{(x+2)(x+3)}$$ である。したがって $$\tan \theta =\frac{x}{x^2+5x+12}$$ である。

(2) $$T(x)=\frac{x}{x^2+5x+12}(x>0)$$ とおく。微分すると$$T^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x^2+5x+12-x(2x+5)}{(x^2+5x+12{)}^2}=\frac{12-x^2}{(x^2+5x+12{)}^2}$$である。分母は正なので、$T^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $0<x<2\sqrt{3}$、$T^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ は $x>2\sqrt{3}$ である。

また $x\to 0+0$ で $T(x)\to 0$、$x\to \mathrm{\infty }$ で $T(x)\to 0$ であるから、最大となるのは $x=2\sqrt{3}$ のときである。このとき $$T(2\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{24+10\sqrt{3}}$$ であり、有理化すると$$\frac{2\sqrt{3}}{24+10\sqrt{3}}\cdot \frac{24-10\sqrt{3}}{24-10\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}-5}{23}$$となる。よって $$x=2\sqrt{3},(\tan \theta {)}_{\max }=\frac{4\sqrt{3}-5}{23}$$ である。

2本の方向ベクトルのなす角について、「正弦に対応する行列式の絶対値」を「余弦に対応する内積」で割る。最大化は微分せず、分母を $x+12\mathrm{/}x$ の相加平均・相乗平均で評価する。

(1)

点 $A$ からの方向ベクトルを$$\mathit{u}=\overrightarrow{AB}=(-x-2,2),\mathit{v}=\overrightarrow{AC}=(-x-3,3)$$とする。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので $$\mathit{u}\cdot \mathit{v}>0$$ であり、$$\tan \theta =\frac{\mathrm{\mid }{u}_1{v}_2-u_2{v}_1\mathrm{\mid }}{\mathit{u}\cdot \mathit{v}}=\frac{x}{(x+2)(x+3)+6}=\frac{x}{x^2+5x+12}\mathrm{.}$$(2)$$\tan \theta =\frac{1}{x+5+{\displaystyle \frac{12}{x}}}\mathrm{.}$$$x>0$ だから、相加平均・相乗平均の関係より$$x+\frac{12}{x}\geqq 2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$$であり、等号は $x=2\sqrt{3}$ のときに成立する。したがって$$\max \tan \theta =\frac{1}{5+4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}-5}{23},x=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$