北大 2019年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

重心公式から $X, Y$ を $a, t$ で表す。(2)は $a = 1$ として $t = 3 X - 1$ を消去すれば放物線になる。(3)では $a = 3 X - t$ と消去し、条件 $a ≧ 1$ を $t ≦ 3 X - 1$ と読む。固定した $X$ に対して $Y = \frac{t^{2} - t + 3 X}{3}$ の最小値を、頂点 $t = \frac{1}{2}$ が許されるかどうかで場合分けする。

解答

(1)
3点 $O (0, 0), A (a, a - 1), P (t, t^{2} + 1)$ の重心が $G (X, Y)$ であるから $X = \frac{0 + a + t}{3} = \frac{a + t}{3}$ であり、 $Y = \frac{0 + (a - 1) + (t^{2} + 1)}{3} = \frac{a + t^{2}}{3}$ である。したがって $X = \frac{a + t}{3}, Y = \frac{a + t^{2}}{3}$ である。

(2) $a = 1$ のとき $X = \frac{1 + t}{3}, Y = \frac{1 + t^{2}}{3}$ である。 $t = 3 X - 1$ を代入すると $Y = \frac{1 + (3 X - 1)^{2}}{3}$ である。 $t$ は実数全体を動くので、 $X$ も実数全体を動く。したがって軌跡は $Y = \frac{1 + (3 X - 1)^{2}}{3}$ で表される放物線全体である。これは下に凸で、頂点は $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ である。

(3)
(1)より $a = 3 X - t$ である。条件 $a ≧ 1$ は $3 X - t ≧ 1$ すなわち $t ≦ 3 X - 1$ である。また $Y = \frac{a + t^{2}}{3} = \frac{3 X - t + t^{2}}{3} = \frac{t^{2} - t + 3 X}{3}$ である。

ここで $X$ を固定して、 $t ≦ 3 X - 1$ のもとで $Y$ の最小値を調べる。二次式 $t^{2} - t + 3 X = {(t - \frac{1}{2})}^{2} + 3 X - \frac{1}{4}$ の頂点は $t = \frac{1}{2}$ である。 $X ≧ \frac{1}{2}$ のときは $\frac{1}{2} ≦ 3 X - 1$ であり、 $t = \frac{1}{2}$ が許される。したがって $Y ≧ \frac{3 X - \frac{1}{4}}{3} = X - \frac{1}{12}$ である。 $X < \frac{1}{2}$ のときは $3 X - 1 < \frac{1}{2}$ であり、許される範囲 $t ≦ 3 X - 1$ では二次式は右端 $t = 3 X - 1$ で最小となる。したがって $Y ≧ \frac{(3 X - 1)^{2} - (3 X - 1) + 3 X}{3} = 3 X^{2} - 2 X + \frac{2}{3}$ である。

以上より、 $G$ が通過する範囲は ${\begin{cases} Y ≧ 3 X^{2} - 2 X + \frac{2}{3} & (X < \frac{1}{2}), \\ Y ≧ X - \frac{1}{12} & (X ≧ \frac{1}{2}) \end{cases}$ である。図示すると、 $X < \frac{1}{2}$ では放物線 $Y = 3 X^{2} - 2 X + \frac{2}{3}$ の上側、 $X ≧ \frac{1}{2}$ では直線 $Y = X - \frac{1}{12}$ の上側であり、2つの境界は $X = \frac{1}{2}$ でつながる。

別解

解法2（固定したXでaを最小化する）

方針

$t = 3 X - a$ と消去し、固定した $X$ に対して $Y$ を $a ≧ 1$ の二次関数とみなす。頂点が許容範囲に入るかを $X = 1 / 2$ で場合分けする。

解答

(1)

重心公式より $X = \frac{a + t}{3}, Y = \frac{a + t^{2}}{3} .$ (2)

$a = 1$ なら $t = 3 X - 1$ だから $Y = \frac{1 + (3 X - 1)^{2}}{3} (X \in R) .$ 頂点 $(1 / 3, 1 / 3)$ の放物線全体である。

(3)

$t = 3 X - a$ を $Y$ に代入すると $Y = \frac{a + (3 X - a)^{2}}{3} = \frac{(a - 3 X + 1 / 2)^{2} + 3 X - 1 / 4}{3} .$ 固定した $X$ に対し、 $a ≧ 1$ のもとで右辺の最小値を求める。

$X ≧ 1 / 2$ なら頂点 $a = 3 X - 1 / 2$ が許されるので $Y ≧ X - \frac{1}{12} .$ $X < 1 / 2$ なら頂点は $a < 1$ にあり、 $a ≧ 1$ では $a = 1$ のとき最小となる。よって $Y ≧ \frac{1 + (3 X - 1)^{2}}{3} = 3 X^{2} - 2 X + \frac{2}{3} .$ したがって通過範囲は ${\begin{cases} Y ≧ 3 X^{2} - 2 X + \frac{2}{3} & (X < \frac{1}{2}), \\ Y ≧ X - \frac{1}{12} & (X ≧ \frac{1}{2}) \end{cases}$ である。

総評

難度6、目安時間18分。2変数 $a, t$ が動く通過範囲は、 $X$ を固定して $Y$ の下限を求めると整理しやすい。条件 $a ≧ 1$ を $t ≦ 3 X - 1$ に変換するところが核心である。 $X = \frac{1}{2}$ を境に、二次式の頂点 $t = \frac{1}{2}$ が許されるかどうかが変わるため、ここで場合分けが必要になる。図示では境界線だけでなく、その上側全体であることを明示したい。

出典: 北海道大学 2019年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

方針

解答

別解

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総評

北海道大学 2019年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第2問