問題
，は実数で，は1以上とする。座標平面上の3点，，を頂点とする三角形の重心の座標をとする。
(1) とを，とを用いて表せ。
(2) とする。が実数全体を動くとき，の軌跡を求め，座標平面上に図示せよ。
(3) が1以上の実数全体を，が実数全体を動くとき，が通過する範囲を座標平面上に図示せよ。
方針
解法1（固定したXでtを最小化する）
重心公式から を で表す。(2)は として を消去すれば放物線になる。(3)では と消去し、条件 を と読む。固定した に対して の最小値を、頂点 が許されるかどうかで場合分けする。
解法2（固定したXでaを最小化する）
と消去し、固定した に対して を の二次関数とみなす。頂点が許容範囲に入るかを で場合分けする。
解答
解法1（固定したXでtを最小化する）
(1)
3点 の重心が であるから であり、 である。したがって である。
(2)
のとき である。 を代入すると である。 は実数全体を動くので、 も実数全体を動く。したがって軌跡は で表される放物線全体である。これは下に凸で、頂点は である。
(3)
(1)より である。条件 は すなわち である。また である。
ここで を固定して、 のもとで の最小値を調べる。二次式 の頂点は である。 のときは であり、 が許される。したがって である。 のときは であり、許される範囲 では二次式は右端 で最小となる。したがって である。
以上より、 が通過する範囲は
である。図示すると、 では放物線 の上側、 では直線 の上側であり、2つの境界は でつながる。
解法2（固定したXでaを最小化する）
(1)
重心公式より
(2)
なら だから
頂点 の放物線全体である。
(3)
を に代入すると
固定した に対し、 のもとで右辺の最小値を求める。
なら頂点 が許されるので
なら頂点は にあり、 では のとき最小となる。よって
したがって通過範囲は
である。
