北海道大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
円 $C$ の方程式は $\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }=r$ である。$w=\frac{1}{z}$ だから $z=\frac{1}{w}$ であり、これを代入すると $$\mid \frac{1}{w}-\alpha \mid =r$$ である。両辺に $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ を掛けて $\mathrm{\mid }1-\alpha w\mathrm{\mid }=r\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ を得る。両辺を2乗すると $$(1-\alpha w)(1-\bar{\alpha }\bar{w})=r^2\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$$ であり、整理して $$(\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2)\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2-\alpha w-\bar{\alpha }\bar{w}+1=0$$ となる。

ここで、円 $C$ は原点を通らないので $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }r$ である。したがって $\delta =\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2$ とおくと、$\delta \mathrm{\ne }0$ である。方程式を $\delta$ で割ると$$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2-\frac{\alpha }{\delta }w-\frac{\bar{\alpha }}{\delta }\bar{w}+\frac{1}{\delta }=0$$である。これは$${\mid w-\frac{\bar{\alpha }}{\delta }\mid }^2=\frac{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}{{\delta }^2}-\frac{1}{\delta }=\frac{r^2}{{\delta }^2}$$と書ける。よって $C^{\mathrm{\prime }}$ は円であり、その中心は $\frac{\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2}$ 半径は $\frac{r}{\mid \mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid }$ である。

(2) $C$ と $C^{\mathrm{\prime }}$ が一致するとする。半径が等しいので $$r=\frac{r}{\mid \mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid }$$ である。$r>0$ より $$\mid \mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid =1$$ である。すなわち $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2=\pm 1$ である。 $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2=1$ のとき、中心が一致する条件は $$\alpha =\bar{\alpha }$$ である。したがって $\alpha$ は実数であり、中心は実軸上にある。 $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2=-1$ のとき、中心が一致する条件は $$\alpha =-\bar{\alpha }$$ である。したがって $\alpha$ は純虚数であり、中心は虚軸上にある。

以上より、$C=C^{\mathrm{\prime }}$ ならば、円 $C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にあることが示された。

$\alpha =a+bi,w=u+iv$ とおき、$z=1\mathrm{/}w$ の実部・虚部を円の方程式へ代入する。実座標の円の標準形に直して中心と半径を読み、円の一致条件を座標ごとに比較する。

(1) $$\alpha =a+bi,w=u+iv,{\rho }^2=u^2+v^2$$とおく。$z=1\mathrm{/}w$ だから$$z=\frac{u-iv}{u^2+v^2},$$すなわち $z=x+iy$ とすれば$$x=\frac{u}{{\rho }^2},y=-\frac{v}{{\rho }^2}\mathrm{.}$$円 $C$ の方程式$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$へ代入し、${\rho }^2$ を掛けて整理すると$$(a^2+b^2-r^2)(u^2+v^2)-2au+2bv+1=0.$$$$\delta =a^2+b^2-r^2=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2$$ とおく。原点が $C$ 上にないので $\delta \mathrm{\ne }0$ である。平方完成により$${(u-\frac{a}{\delta })}^2+{(v+\frac{b}{\delta })}^2=\frac{r^2}{{\delta }^2}\mathrm{.}$$よって中心と半径はそれぞれ$$\frac{\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2},\frac{r}{\mid \mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid }\mathrm{.}$$(2)

$C=C^{\mathrm{\prime }}$ なら半径の一致から $\mathrm{\mid }\delta \mathrm{\mid }=1$ である。

$\delta =1$ のとき、中心$$(a,b)=(\frac{a}{\delta },-\frac{b}{\delta })$$の比較から $b=0$ となり、$\alpha$ は実軸上にある。

$\delta =-1$ のときは同じ比較から $a=0$ となり、$\alpha$ は虚軸上にある。したがって題意が示された。