北海道大学 2019年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

解法1（複素数の円の方程式を使う）

(1)

円 $C$ の方程式は $|z-\alpha |=r$ である。$w=\frac{1}{z}$ だから $z=\frac{1}{w}$ であり、これを代入すると $\left|\frac{1}{w}-\alpha \right|=r$ である。両辺に $|w|$ を掛けて $|1-\alpha w|=r|w|$ を得る。両辺を2乗すると $(1-\alpha w)(1-\overline{\alpha }\overline{w})=r^2|w{|}^2$ であり、整理して $(|\alpha {|}^2-r^2)|w{|}^2-\alpha w-\overline{\alpha }\overline{w}+1=0$ となる。

ここで、円 $C$ は原点を通らないので $|\alpha |\ne r$ である。したがって $\delta =|\alpha {|}^2-r^2$ とおくと、$\delta \ne 0$ である。方程式を $\delta$ で割ると

である。これは

と書ける。よって $C^{\prime }$ は円であり、その中心は $\frac{\overline{\alpha }}{|\alpha {|}^2-r^2}$ 半径は $\frac{r}{||\alpha {|}^2-r^2|}$ である。

(2)

$C$ と $C^{\prime }$ が一致するとする。半径が等しいので $r=\frac{r}{||\alpha {|}^2-r^2|}$ である。$r>0$ より $\left||\alpha {|}^2-r^2\right|=1$ である。すなわち $|\alpha {|}^2-r^2=\pm 1$ である。 $|\alpha {|}^2-r^2=1$ のとき、中心が一致する条件は $\alpha =\overline{\alpha }$ である。したがって $\alpha$ は実数であり、中心は実軸上にある。 $|\alpha {|}^2-r^2=-1$ のとき、中心が一致する条件は $\alpha =-\overline{\alpha }$ である。したがって $\alpha$ は純虚数であり、中心は虚軸上にある。

以上より、$C=C^{\prime }$ ならば、円 $C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にあることが示された。

解法2（実部・虚部の座標で平方完成する）

(1)

とおく。$z=1/w$ だから

すなわち $z=x+iy$ とすれば

円 $C$ の方程式

へ代入し、${\rho }^2$ を掛けて整理すると

$\delta =a^2+b^2-r^2=|\alpha {|}^2-r^2$ とおく。原点が $C$ 上にないので $\delta \ne 0$ である。平方完成により

よって中心と半径はそれぞれ

(2)

$C=C^{\prime }$ なら半径の一致から $|\delta |=1$ である。

$\delta =1$ のとき、中心

の比較から $b=0$ となり、$\alpha$ は実軸上にある。

$\delta =-1$ のときは同じ比較から $a=0$ となり、$\alpha$ は虚軸上にある。したがって題意が示された。