北海道大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
1回の試行で当たりくじを引く確率は $\frac{2}{n}$ であり、はずれを引く確率は $1-\frac{2}{n}$ である。くじは毎回戻すので、各試行は同じ確率で独立に行われる。したがって、$n$ 回中ちょうど $k$ 回当たりを引く確率は、$0\leqq k\leqq n$ のとき$$p_n(k)={}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{n}\right)}^k{(1-\frac{2}{n})}^{n-k}$$である。$k<0$ または $k>n$ のときは、そのような回数は起こらないので $p_n(k)=0$ である。

(2) $k$ を固定して $n\to \mathrm{\infty }$ とする。まず$${}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{n}\right)}^k=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{2^k}{n^k}$$であるから $${}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{n}\right)}^k\to \frac{2^k}{k!}$$ である。また$${(1-\frac{2}{n})}^{n-k}={(1-\frac{2}{n})}^n{(1-\frac{2}{n})}^{-k}$$であり、問題文で与えられた極限より$${(1-\frac{2}{n})}^n\to e^{-2},{(1-\frac{2}{n})}^{-k}\to 1$$である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n(k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$$ である。

(3) $$p(k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$$ である。隣り合う項の比をとると$$\frac{p(k+1)}{p(k)}=\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}\cdot \frac{k!}{2^k}=\frac{2}{k+1}$$である。

したがって $k=0$ から $k=1$ へは $$\frac{p(1)}{p(0)}=2>1$$ なので増加する。$k=1$ から $k=2$ へは $$\frac{p(2)}{p(1)}=1$$ なので等しい。$k\geqq 2$ では $$\frac{p(k+1)}{p(k)}<1$$ なので減少する。よって最大となる $k$ は $k=1,2$ である。

(1) (2)は成功回数を直接数えて極限を取る。(3)では隣接比の代わりに $p(k+1)-p(k)$ を計算し、その符号が $k=1$ を境に変わることを見る。

(1)

当たりを引く回を $k$ 回選び、それぞれの試行確率を掛けると$$p_n(k)={}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{n}\right)}^k{(1-\frac{2}{n})}^{n-k}(0\leqq k\leqq n)\mathrm{.}$$それ以外の $k$ では $p_n(k)=0$ である。

(2)

$k$ を固定すると$${}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{n}\right)}^k=\frac{2^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}⟶\frac{2^k}{k!},$$また$${(1-\frac{2}{n})}^{n-k}={(1-\frac{2}{n})}^n{(1-\frac{2}{n})}^{-k}⟶e^{-2}\mathrm{.}$$したがって$$p(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n(k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(k+1)-p(k)}& {\displaystyle =e^{-2}\{\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{2^k}{k!}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-2}\frac{2^k}{(k+1)!}(1-k)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $k=0$ では増加、$k=1$ では同値、$k\geqq 2$ では減少する。したがって最大となるのは$$k=1,2$$である。