北海道大学 2019年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{2} - 1$ （ $x ≧ 1$ ）と

g (t) = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2} (t ≧ 0)

を考える。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

(1) $g (t) ≧ 1$ を示せ。

(2) $a > 0$ とする。次の定積分を求めよ。

\int_{0}^{a} f (g (t)) g^{'} (t) d t

(3) 座標平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする。 $p > 1$ とし、 $C$ 上の点 $(p, f (p))$ における接線を $l$ とする。このとき、曲線 $C$ 、直線 $l$ 、 $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $p$ で表せ。

出典：北海道大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

解法1（指数関数型の置換を使う）

$g (t) = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ は $t ≧ 0$ で1以上となり、さらに $g^{'} (t) = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2} ≧ 0$ を満たす。 $g (t)^{2} - 1 = (g^{'} (t))^{2}$ なので、(2)は $f (g (t)) = g^{'} (t)$ として積分する。(3)では $p = g (a)$ 、 $p^{2} - 1 = g^{'} (a)$ とおき、接線と $x$ 軸でできる三角形の面積から、曲線下の面積

\int_{1}^{p} x^{2} - 1 d x

を引く。

解法2（曲線下の面積を部分積分で求める）

(1)(2)で指数表示を整理する。(3)では曲線下の面積を $I (p)$ とおき、部分積分と $lo g (x + x^{2} - 1)$ の微分を使って直接求め、接線下の三角形から差し引く。

解答

解法1（指数関数型の置換を使う）

(1)

相加平均・相乗平均の関係より、 $t ≧ 0$ で $g (t) = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2} ≧ e^{t} e^{- t} = 1$ である。したがって $g (t) ≧ 1$ である。

(2)

$g^{'} (t) = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$ である。また

g (t)^{2} - 1 = (\frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2})^{2} - 1 = \frac{e ^{2 t} - 2 + e ^{- 2 t}}{4} = (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2}

である。 $t ≧ 0$ では $g^{'} (t) ≧ 0$ だから $f (g (t)) = g (t)^{2} - 1 = g^{'} (t)$ である。

したがって

\int_{0}^{a} f (g (t)) g^{'} (t) d t = \int_{0}^{a} {g^{'} (t)}^{2} d t = \int_{0}^{a} (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2} d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{a} (e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}) d t = \frac{e ^{2 a} - e ^{- 2 a}}{8} - \frac{a}{2}

である。よって

\int_{0}^{a} f (g (t)) g^{'} (t) d t = \frac{e ^{2 a} - e ^{- 2 a}}{8} - \frac{a}{2} .

(3)

$q = p^{2} - 1$ とおく。曲線 $C$ 上の点は $(p, q)$ である。 $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} - 1}$ より、この点における接線の傾きは $\frac{p}{q}$ である。接線の方程式は $y - q = \frac{p}{q} (x - p)$ であり、 $x$ 軸との交点は $y = 0$ として $- q = \frac{p}{q} (x - p)$ より $x = p - \frac{q ^{2}}{p} = p - \frac{p ^{2} - 1}{p} = \frac{1}{p}$ である。

したがって、接線と $x$ 軸でできる三角形の面積は $\frac{1}{2} (p - \frac{1}{p}) q$ である。この三角形から、 $1 ≦ x ≦ p$ にある曲線下の面積を引けば、求める面積 $S$ になる。

ここで $p > 1$ なので、ある $a > 0$ が存在して $p = g (a) = \frac{e ^{a} + e ^{- a}}{2}$ と書ける。このとき $q = p^{2} - 1 = g^{'} (a)$ である。(2)より、置換 $x = g (t)$ を用いると

\int_{1}^{p} x^{2} - 1 d x = \int_{0}^{a} f (g (t)) g^{'} (t) d t = \frac{pq - a}{2}

である。また $e^{a} = p + q$ なので $a = lo g (p + q) = lo g (p + p^{2} - 1)$ である。

よって

S = \frac{1}{2} (p - \frac{1}{p}) q - \frac{pq - a}{2} = \frac{1}{2} (a - \frac{q}{p}) = \frac{1}{2} {lo g (p + p^{2} - 1) - \frac{p ^{2} - 1}{p}}

である。したがって

S = \frac{1}{2} {lo g (p + p^{2} - 1) - \frac{p ^{2} - 1}{p}}

である。

解法2（曲線下の面積を部分積分で求める）

(1)

e^{t} + e^{- t} ≧ 2 e^{t} e^{- t} = 2

より $g (t) ≧ 1$ である。

(2)

g^{'} (t) = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2} ≧ 0, g (t)^{2} - 1 = {g^{'} (t)}^{2}

だから $f (g (t)) = g^{'} (t)$ である。よって

\int_{0}^{a} f (g (t)) g^{'} (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{a} (e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}) d t = \frac{e ^{2 a} - e ^{- 2 a}}{8} - \frac{a}{2} .

(3)

$q = p^{2} - 1$ とおく。接線は

y - q = \frac{p}{q} (x - p)

であり、 $x$ 軸との交点は $(1/ p, 0)$ である。したがって接線下の三角形の面積は

T = \frac{1}{2} (p - \frac{1}{p}) q .

曲線下の面積を

I (p) = \int_{1}^{p} x^{2} - 1 d x

とする。部分積分し、 $x^{2} = (x^{2} - 1) + 1$ を使うと

I (p) = pq - I (p) - \int_{1}^{p} \frac{d x}{x ^{2} - 1} .

ここで

\frac{d}{d x} lo g (x + x^{2} - 1) = \frac{1}{x ^{2} - 1}

だから

I (p) = \frac{1}{2} {pq - lo g (p + p^{2} - 1)} .

求める面積は $S = T - I (p)$ なので

S = \frac{1}{2} {lo g (p + p^{2} - 1) - \frac{p ^{2} - 1}{p}} .

北海道大学 2019年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解法1（指数関数型の置換を使う）

解法2（曲線下の面積を部分積分で求める）

解答

解法1（指数関数型の置換を使う）

(1)

(2)

(3)

解法2（曲線下の面積を部分積分で求める）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2019年度
後期・理系数学後期第4問