北海道大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
相加平均・相乗平均の関係より、$t\geqq 0$ で $$g(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\geqq \sqrt{e^t{e}^{-t}}=1$$ である。したがって $g(t)\geqq 1$ である。

(2) $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(t{)}^2-1}& {\displaystyle ={\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^2}\end{array}$$である。$t\geqq 0$ では $g^{\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$ だから $$f(g(t))=\sqrt{g(t{)}^2-1}=g^{\mathrm{\prime }}(t)$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{a}f(g(t))g^{\mathrm{\prime }}(t)dt}& {\displaystyle ={\int }_0^a\{g^{\mathrm{\prime }}(t){\}}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^a{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}{\int }_0^a(e^{2t}-2+e^{-2t})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{2a}-e^{-2a}}{8}-\frac{a}{2}}\end{array}$$である。よって$${\int }_0^{a}f(g(t))g^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\frac{e^{2a}-e^{-2a}}{8}-\frac{a}{2}\mathrm{.}$$(3) $$q=\sqrt{p^2-1}$$ とおく。曲線 $C$ 上の点は $(p,q)$ である。$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$ より、この点における接線の傾きは $\frac{p}{q}$ である。接線の方程式は $$y-q=\frac{p}{q}(x-p)$$ であり、$x$ 軸との交点は $y=0$ として $$-q=\frac{p}{q}(x-p)$$ より $$x=p-\frac{q^2}{p}=p-\frac{p^2-1}{p}=\frac{1}{p}$$ である。

したがって、接線と $x$ 軸でできる三角形の面積は $\frac{1}{2}(p-\frac{1}{p})q$ である。この三角形から、$1\leqq x\leqq p$ にある曲線下の面積を引けば、求める面積 $S$ になる。

ここで $p>1$ なので、ある $a>0$ が存在して $$p=g(a)=\frac{e^a+e^{-a}}{2}$$ と書ける。このとき $$q=\sqrt{p^2-1}=g^{\mathrm{\prime }}(a)$$ である。(2)より、置換 $x=g(t)$ を用いると$${\int }_1^p\sqrt{x^2-1}dx={\int }_0^{a}f(g(t))g^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\frac{pq-a}{2}$$である。また $e^a=p+q$ なので $$a=\log (p+q)=\log (p+\sqrt{p^2-1})$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(p-\frac{1}{p})q-\frac{pq-a}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(a-\frac{q}{p})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{\log (p+\sqrt{p^2-1})-\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\}}\end{array}$$である。したがって$$S=\frac{1}{2}\{\log (p+\sqrt{p^2-1})-\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\}$$である。

(1) (2)で指数表示を整理する。(3)では曲線下の面積を $I(p)$ とおき、部分積分と $\log (x+\sqrt{x^2-1})$ の微分を使って直接求め、接線下の三角形から差し引く。

(1) $$e^t+e^{-t}\geqq 2\sqrt{e^t{e}^{-t}}=2$$より $g(t)\geqq 1$ である。

(2) $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\geqq 0,g(t{)}^2-1=\{g^{\mathrm{\prime }}(t){\}}^2$$だから $f(g(t))=g^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{a}f(g(t))g^{\mathrm{\prime }}(t)dt}& {\displaystyle =\frac{1}{4}{\int }_0^a(e^{2t}-2+e^{-2t})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{2a}-e^{-2a}}{8}-\frac{a}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$q=\sqrt{p^2-1}$$ とおく。接線は$$y-q=\frac{p}{q}(x-p)$$であり、$x$ 軸との交点は $(1\mathrm{/}p,0)$ である。したがって接線下の三角形の面積は$$T=\frac{1}{2}(p-\frac{1}{p})q\mathrm{.}$$曲線下の面積を$$I(p)={\int }_1^p\sqrt{x^2-1}dx$$とする。部分積分し、$x^2=(x^2-1)+1$ を使うと$$I(p)=pq-I(p)-{\int }_1^p\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{.}$$ここで$$\frac{d}{dx}\log (x+\sqrt{x^2-1})=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$だから$$I(p)=\frac{1}{2}\{pq-\log (p+\sqrt{p^2-1})\}\mathrm{.}$$求める面積は $S=T-I(p)$ なので$$S=\frac{1}{2}\{\log (p+\sqrt{p^2-1})-\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\}\mathrm{.}$$