熊本大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ は $5$ 以上の自然数とする．赤玉 $3$ 個と白玉 $7$ 個が入っている袋から玉を $1$ 個取り出し，色を確認してからもとに戻すという試行を $n$ 回行う．以下の問いに答えよ．

(問1) $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出る確率を求めよ．

(問2) $2$ 度以上連続することなく $3$ 度赤玉が出る確率を求めよ．

(問3) $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出たとき， $2$ 度以上連続することなく $3$ 度赤玉が出ている条件付き確率を求めよ．

（編注）2022年札幌医科大学前期で改変して活用

出典：熊本大学 2017年度前期文系第2問

方針

解法1

赤玉の出る確率を $p = \frac{3}{10}$ ，白玉の出る確率を $q = \frac{7}{10}$ とする。(問1)は最初の $n - 1$ 回に赤がちょうど2回出て，最後が赤である事象を数える。(問2)は隣り合わない3個の位置の選び方を数える。(問3)は(問1)を条件に，最後の赤と連続しないように $n - 1$ 回目が白になる位置条件を数える。

解法2

赤が連続しない並びを，白玉の間にできる隙間へ赤玉を置く方法で数える。条件付き確率では最後が赤であることを固定して，同じ隙間法を用いる。

解答

解法1

(問1)

赤玉の出る確率を $p = \frac{3}{10}$ ，白玉の出る確率を $q = \frac{7}{10}$ とする。 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出るには，最初の $n - 1$ 回に赤玉がちょうど $2$ 回出て， $n$ 回目に赤玉が出ればよい。したがって求める確率は

_{n - 1} C_{2} p^{3} q^{n - 3} =_{n - 1} C_{2} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問2)

$n$ 回のうち赤玉が出る $3$ 回の位置を，隣り合わないように選ぶ。 $n$ 個の位置から隣り合わない $3$ 個を選ぶ方法は

_{n - 2} C_{3}

通りである。よって求める確率は

_{n - 2} C_{3} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問3)

事象 $A$ を「 $n$ 回目に $3$ 度目の赤玉が出る」とする。 $A$ のもとでは，最初の $n - 1$ 回のうち赤玉が出る位置を $2$ 個選ぶので，その選び方は $_{n - 1} C_{2}$ 通りである。

さらに赤玉が連続しないためには， $n - 1$ 回目は白玉であり，最初の $n - 2$ 回の中で赤玉が出る $2$ 個の位置が隣り合わなければよい。この選び方は

_{n - 3} C_{2}

通りである。各位置の出方の確率因子は同じなので，求める条件付き確率は

\frac{_{n - 3} C _{2}}{_{n - 1} C _{2}} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{( n - 1 ) ( n - 2 )}

である。

解法2

(問1)

赤を $R$ ，白を $W$ と書く。 $n$ 回目が3回目の $R$ であるには，最初の $n - 1$ 箇所から $R$ の位置を2個選べばよい。したがって

_{n - 1} C_{2} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問2)

まず $n - 3$ 個の $W$ を並べると，その前後と間に

n - 2

個の隙間ができる。 $R$ が連続しないためには，異なる3個の隙間に $R$ を1個ずつ置けばよい。よって並びは $_{n - 2} C_{3}$ 通りであり，確率は

_{n - 2} C_{3} (\frac{3}{10})^{3} (\frac{7}{10})^{n - 3}

である。

(問3)

「 $n$ 回目が3回目の赤」である並びは，最初の $n - 1$ 箇所から赤の位置を2個選ぶので $_{n - 1} C_{2}$ 通りである。

さらに赤が連続しないなら $n - 1$ 回目は白である。最初の $n - 2$ 回には赤2個，白 $n - 4$ 個があり，白を並べたときの $n - 3$ 個の隙間から2個を選ぶので，有利な並びは $_{n - 3} C_{2}$ 通りである。したがって条件付き確率は

\frac{_{n - 3} C _{2}}{_{n - 1} C _{2}} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{( n - 1 ) ( n - 2 )}

である。

熊本大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文系数学第2問