熊本大学 2017年度 前期文系数学 第2問

(問1)
赤玉の出る確率を $p=\frac{3}{10}$，白玉の出る確率を $q=\frac{7}{10}$ とする。$n$回目に$3$度目の赤玉が出るには，最初の$n-1$回に赤玉がちょうど$2$回出て，$n$回目に赤玉が出ればよい。したがって求める確率は$${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2{p}^3{q}^{n-3}={}_{n-1}{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{3}{10}\right)}^3{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-3}$$である。

(問2)
$n$回のうち赤玉が出る$3$回の位置を，隣り合わないように選ぶ。$n$個の位置から隣り合わない$3$個を選ぶ方法は$${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$$通りである。よって求める確率は$${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{3}{10}\right)}^3{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-3}$$である。

(問3)
事象 $A$ を「$n$回目に$3$度目の赤玉が出る」とする。$A$ のもとでは，最初の$n-1$回のうち赤玉が出る位置を$2$個選ぶので，その選び方は ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2$ 通りである。

さらに赤玉が連続しないためには，$n-1$回目は白玉であり，最初の$n-2$回の中で赤玉が出る$2$個の位置が隣り合わなければよい。この選び方は$${}_{n-3}{\mathrm{C}}_2$$通りである。各位置の出方の確率因子は同じなので，求める条件付き確率は$$\frac{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_2}=\frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}$$である。

赤が連続しない並びを，白玉の間にできる隙間へ赤玉を置く方法で数える。条件付き確率では最後が赤であることを固定して，同じ隙間法を用いる。

(問1)
赤を$R$，白を$W$と書く。$n$回目が3回目の$R$であるには，最初の$n-1$箇所から$R$の位置を2個選べばよい。したがって$${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{3}{10}\right)}^3{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-3}$$である。

(問2)
まず$n-3$個の$W$を並べると，その前後と間に$$n-2$$個の隙間ができる。$R$が連続しないためには，異なる3個の隙間に$R$を1個ずつ置けばよい。よって並びは${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$通りであり，確率は$${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{3}{10}\right)}^3{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-3}$$である。

(問3)
「$n$回目が3回目の赤」である並びは，最初の$n-1$箇所から赤の位置を2個選ぶので${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2$通りである。

さらに赤が連続しないなら$n-1$回目は白である。最初の$n-2$回には赤2個，白$n-4$個があり，白を並べたときの$n-3$個の隙間から2個を選ぶので，有利な並びは${}_{n-3}{\mathrm{C}}_2$通りである。したがって条件付き確率は$$\frac{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_2}=\frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}$$である。