熊本大学 2017年度 前期 教育・看護文系数学 第4問

(問1)
共有点の$x$座標は$$(x-t{)}^2+2t^3-t^2=2x^3-x^2$$を満たす。整理すると$$2\{x^3-x^2+tx-t^3\}=0$$であり，$$x^3-x^2+tx-t^3=(x-t)\{x^2+(t-1)x+t^2\}$$である。

二次方程式 $x^2+(t-1)x+t^2=0$ の判別式を $D$ とすると$$D=(t-1{)}^2-4t^2=-(3t-1)(t+1)$$である。また $x=t$ がこの二次方程式の根にもなるのは$$t^2+(t-1)t+t^2=t(3t-1)=0$$より，$t\mathrm{\ne }0$ だから $t=\frac{1}{3}$ のときである。

共有点が$2$個になるには，二次方程式が重解をもち，その重解が $x=t$ と異なればよい。$D=0$ より $t=\frac{1}{3},-1$ であるが，$t=\frac{1}{3}$ では重解が $x=t$ と一致する。したがって$$t=-1$$である。

(問2)
$t=-1$ のとき$$C_1:y=x^2+2x-2,C_2:y=2x^3-x^2$$である。共有点の$x$座標は $-1,1$ であるから$$A(-1,-3),B(1,1)$$である。$C_2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=6x^2-2x$ であるから，接線は$$l_A:y=8x+5,l_B:y=4x-3$$である。$l_A$ と $l_B$ の交点は $(-2,-11)$ である。

求める面積は，$-2\leqq x\leqq -1$ では $l_A$ と $l_B$ の差，$-1\leqq x\leqq 1$ では $C_1$ と $l_B$ の差を積分すればよい。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^{-1}\{(8x+5)-(4x-3)\}dx+{\int }_{-1}^1\{(x^2+2x-2)-(4x-3)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-2}^{-1}(4x+8)dx+{\int }_{-1}^1(x-1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}}\end{array}$$である。

共有点方程式を一次因子と二次因子に分け，根の重なりを集合として数える。面積は各境界の差を先に平方・一次式へ因数分解してから積分する。

(問1)
共有点の条件は$$(x-t)\{x^2+(t-1)x+t^2\}=0$$である。二次因子の判別式は$$D=-(3t-1)(t+1)$$であり，$x=t$が二次因子の根になる条件は$$t(3t-1)=0$$である。

異なる共有点が2個になるには，二次因子が重解をもち，その重解が$t$と異なればよい。$D=0$から$t=1\mathrm{/}3,-1$を得るが，$t=1\mathrm{/}3$ではすべての根が$x=t$に重なる。したがって$$t=-1$$である。

(問2)
$t=-1$のとき$$C_1:y=x^2+2x-2$$で，共有点は$A(-1,-3),B(1,1)$である。$C_2$の接線は$$l_A:y=8x+5,l_B:y=4x-3$$で，その交点の$x$座標は$-2$である。

境界の差は$$l_A-l_B=4(x+2),C_1-l_B=(x-1{)}^2$$と簡単に表せる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^{-1}4(x+2)dx+{\int }_{-1}^1(x-1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}}\end{array}$$である。