熊本大学 2017年度文系数学第4問解答・解説

問題

$t$ は $0$ でない実数とする．座標平面上の曲線 $C_{1} : y = (x - t)^{2} + 2 t^{3} - t^{2}$ と曲線 $C_{2} : y = 2 x^{3} - x^{2}$ について，以下の問いに答えよ．

(問1) 曲線 $C_{1}$ と曲線 $C_{2}$ の共有点が $2$ 個になるような $t$ を求めよ．

(問2) $t$ を(問1)で求めた値とし，曲線 $C_{1}$ と曲線 $C_{2}$ の共有点を $A$ ， $B$ とする．ただし，点 $A$ の $x$ 座標は，点 $B$ の $x$ 座標より小さいとする．このとき，点 $A$ ， $B$ における曲線 $C_{2}$ の接線 $l_{A}$ ， $l_{B}$ と曲線 $C_{1}$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期文系第4問

方針

解法1

共有点の $x$ 座標は三次方程式で決まり，常に $x = t$ を根にもつ。二次因子の判別式と重なりを調べて共有点が2個になる $t$ を決める。 $t = - 1$ を代入して2つの共有点と $C_{2}$ の接線を求め，接線同士の交点を境に積分区間を分けて面積を計算する。

解法2

共有点方程式を一次因子と二次因子に分け，根の重なりを集合として数える。面積は各境界の差を先に平方・一次式へ因数分解してから積分する。

解答

解法1

(問1)

共有点の $x$ 座標は

(x - t)^{2} + 2 t^{3} - t^{2} = 2 x^{3} - x^{2}

を満たす。整理すると

2 {x^{3} - x^{2} + t x - t^{3}} = 0

であり，

x^{3} - x^{2} + t x - t^{3} = (x - t) {x^{2} + (t - 1) x + t^{2}}

である。

二次方程式 $x^{2} + (t - 1) x + t^{2} = 0$ の判別式を $D$ とすると

D = (t - 1)^{2} - 4 t^{2} = - (3 t - 1) (t + 1)

である。また $x = t$ がこの二次方程式の根にもなるのは

t^{2} + (t - 1) t + t^{2} = t (3 t - 1) = 0

より， $t \neq = 0$ だから $t = \frac{1}{3}$ のときである。

共有点が $2$ 個になるには，二次方程式が重解をもち，その重解が $x = t$ と異なればよい。 $D = 0$ より $t = \frac{1}{3}, - 1$ であるが， $t = \frac{1}{3}$ では重解が $x = t$ と一致する。したがって

t = - 1

である。

(問2)

$t = - 1$ のとき

C_{1} : y = x^{2} + 2 x - 2, C_{2} : y = 2 x^{3} - x^{2}

である。共有点の $x$ 座標は $- 1, 1$ であるから

A (- 1, - 3), B (1, 1)

である。 $C_{2}$ の導関数は $y^{'} = 6 x^{2} - 2 x$ であるから，接線は

l_{A} : y = 8 x + 5, l_{B} : y = 4 x - 3

である。 $l_{A}$ と $l_{B}$ の交点は $(- 2, - 11)$ である。

求める面積は， $- 2 ≦ x ≦ - 1$ では $l_{A}$ と $l_{B}$ の差， $- 1 ≦ x ≦ 1$ では $C_{1}$ と $l_{B}$ の差を積分すればよい。したがって

S = \int_{- 2}^{- 1} {(8 x + 5) - (4 x - 3)} d x + \int_{- 1}^{1} {(x^{2} + 2 x - 2) - (4 x - 3)} d x = \int_{- 2}^{- 1} (4 x + 8) d x + \int_{- 1}^{1} (x - 1)^{2} d x = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}

である。

解法2

(問1)

共有点の条件は

(x - t) {x^{2} + (t - 1) x + t^{2}} = 0

である。二次因子の判別式は

D = - (3 t - 1) (t + 1)

であり， $x = t$ が二次因子の根になる条件は

t (3 t - 1) = 0

である。

異なる共有点が2個になるには，二次因子が重解をもち，その重解が $t$ と異なればよい。 $D = 0$ から $t = 1/3, - 1$ を得るが， $t = 1/3$ ではすべての根が $x = t$ に重なる。したがって

t = - 1

である。

(問2)

$t = - 1$ のとき

C_{1} : y = x^{2} + 2 x - 2

で，共有点は $A (- 1, - 3), B (1, 1)$ である。 $C_{2}$ の接線は

l_{A} : y = 8 x + 5, l_{B} : y = 4 x - 3

で，その交点の $x$ 座標は $- 2$ である。

境界の差は

l_{A} - l_{B} = 4 (x + 2), C_{1} - l_{B} = (x - 1)^{2}

と簡単に表せる。したがって

S = \int_{- 2}^{- 1} 4 (x + 2) d x + \int_{- 1}^{1} (x - 1)^{2} d x = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}

である。

熊本大学 2017年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2017年度
文系数学第4問