熊本大学 2019年度 前期文系数学 第1問

(問1)
もしある自然数 $n$ について $a_{n+1}=2$ ならば$$\frac{2}{a_n}+1=2$$より $a_n=2$ である。したがって，ある項が $2$ ならば前の項も $2$ であり，これを繰り返すと $a_1=2$ となる。しかし $a_1=1$ であるから矛盾する。よってすべての自然数 $n$ について $a_n\mathrm{\ne }2$ である。

(問2)
(問1)より $b_n$ は定義される。漸化式から$$a_{n+1}-2=\frac{2}{a_n}-1=-\frac{a_n-2}{a_n}$$であるから$$b_{n+1}=\frac{3}{a_{n+1}-2}+1=-\frac{3a_n}{a_n-2}+1$$となる。また $$b_n-1={\displaystyle \frac{3}{a_n-2}}$$ より$$a_n=2+\frac{3}{b_n-1}=\frac{2b_n+1}{b_n-1}$$である。これを代入すると$$b_{n+1}=-(2b_n+1)+1=-2b_n$$を得る。さらに$$b_1=\frac{3}{1-2}+1=-2$$であるから$$b_n=(-2{)}^n$$である。

(問3)$$b_n-1={\displaystyle \frac{3}{a_n-2}}$$ より$$a_n=2+\frac{3}{b_n-1}=2+\frac{3}{(-2{)}^n-1}=\frac{2(-2{)}^n+1}{(-2{)}^n-1}$$である。

(問4)
(問3)より$$a_n=2+\frac{3}{(-2{)}^n-1}$$である。$n$ が奇数のとき $(-2{)}^n-1<0$ であるから $a_n<2$ となり，条件を満たさない。$n$ が偶数のときは$$2+\frac{3}{2^n-1}>\frac{5}{2}$$であり，これは$$6>2^n-1$$すなわち $2^n<7$ と同値である。偶数の自然数でこれを満たすのは $n=2$ のみである。

漸化式の二つの不動点 $2,-1$ を使い、比 $(a_n-2)\mathrm{/}(a_n+1)$ を置く。この比は公比 $-1\mathrm{/}2$ の等比数列になり、与えられた $b_n$ はその逆数として直ちに求まる。

漸化式の右辺を $T(x)=(x+2)\mathrm{/}x$ と見ると、$T(x)=x$ の解は $2,-1$ である。そこで$$u_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$$とおく。実際、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-(a_n-2)\mathrm{/}{a}_n}{2(a_n+1)\mathrm{/}{a}_n}=-\frac{1}{2}{u}_n\mathrm{.}}\end{array}$$また $u_1=-1\mathrm{/}2$ だから$$\begin{array}{cccc}& u_n={(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(問1)
(1)の右辺は0でない。したがって $a_n-2\mathrm{\ne }0$、すなわちすべての自然数 $n$ で $a_n\mathrm{\ne }2$ である。

(問2)
$u_n=(a_n-2)\mathrm{/}(a_n+1)$ から$$a_n-2=\frac{3u_n}{1-u_n}$$である。よって$$b_n=\frac{3}{a_n-2}+1=\frac{1-u_n}{u_n}+1=\frac{1}{u_n}=(-2{)}^n\mathrm{.}$$(問3)
(1)を $a_n$ について解けば$$a_n=\frac{2+(-1\mathrm{/}2{)}^n}{1-(-1\mathrm{/}2{)}^n}=\frac{2(-2{)}^n+1}{(-2{)}^n-1}\mathrm{.}$$(問4)
$n$ が奇数なら $a_n<2$ なので不適である。$n$ が偶数なら$$a_n=2+\frac{3}{2^n-1}>\frac{5}{2}⟺2^n<7.$$これを満たす偶数の自然数は $n=2$ だけである。