熊本大学 2019年度 前期文系数学 第2問

(問1)
$a=1,2,3,4,5,6$ に対する $b$ は順に$$2,1,3,2,4,3$$である。したがって $a>b$ となるのは $a=2,4,5,6$ の4通りであるから、求める確率は$$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$である。

(問2)
$0<\pi \mathrm{/}6<\pi \mathrm{/}5<\pi \mathrm{/}2$ であり、この範囲で $\sin x$ は増加するから$$\sin \frac{\pi }{5}>\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$である。また$$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$であり、$\sqrt{5}<2.6$ より$$\cos \frac{\pi }{5}<\frac{3.6}{4}=0.9$$である。

(問3)
(問1)より、$a>b$ のもとで起こり得る $(a,b)$ は$$(2,1),(4,2),(5,4),(6,3)$$の4通りであり、いずれも同じ確率で起こる。それぞれの $S$ は$$0,1+\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{\pi }{5}+\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}$$である。ここで$$1+\frac{\sqrt{2}}{2}>1.7,\cos \frac{\pi }{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}<0.9+0.8=1.7,\sqrt{3}>1.7$$である。したがって $S<1.7$ となるのは $(2,1)$ と $(5,4)$ の2通りであり、求める条件付き確率は$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$である。

三角関数の値を小数化せず、$\theta =\pi \mathrm{/}5$ に対する三倍角と二倍角の関係から $\cos \theta$ を導く。条件 $a>b$ の4事象は厳密な平方比較で $S<17\mathrm{/}10$ を判定する。

(問1)
各目に対する $b$ と条件の成否を整理すると$$\begin{array}{ccccccc}a& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ b& 2& 1& 3& 2& 4& 3\\ a>b& \times & \circ & \times & \circ & \circ & \circ \end{array}$$である。したがって確率は $2\mathrm{/}3$ である。

(問2)
$\pi \mathrm{/}6<\pi \mathrm{/}5<\pi \mathrm{/}2$ と、この区間での正弦の増加性から$$\sin \frac{\pi }{5}>\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$次に $\theta =\pi \mathrm{/}5$、$c=\cos \theta$ とおく。$3\theta =\pi -2\theta$ だから$$4c^3-3c=\cos 3\theta =-\cos 2\theta =-(2c^2-1)\mathrm{.}$$よって$$(c+1)(4c^2-2c-1)=0.$$$c>0$ より$$\cos \frac{\pi }{5}=c=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\mathrm{.}$$$5<(13\mathrm{/}5{)}^2$ なので $\sqrt{5}<13\mathrm{/}5$ であり、$$\cos \frac{\pi }{5}<\frac{1+13\mathrm{/}5}{4}=\frac{9}{10}\mathrm{.}$$(問3)
条件 $a>b$ のもとでの $(a,b)$ は$$(2,1),(4,2),(5,4),(6,3)$$の4通りで、条件付きでは同確率である。それぞれの $S$ は$$0,1+\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{\pi }{5}+\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}\mathrm{.}$$ここで $\sqrt{2}>7\mathrm{/}5$、$\sqrt{2}<8\mathrm{/}5$、$\sqrt{3}>17\mathrm{/}10$ は両辺を2乗して確かめられる。したがって$$1+\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{17}{10},\cos \frac{\pi }{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{9}{10}+\frac{4}{5}=\frac{17}{10}\mathrm{.}$$よって条件を満たすのは $(2,1),(5,4)$ の2通りで、求める条件付き確率は$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$である。