熊本大学 2019年度文系数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(問1) 実数 $a, b$ に対して

f (x) = x^{2} + a x + b

とおく．放物線 $y = f (x)$ は $x$ 軸および直線

y = 2 x + 3

に接しているとする．実数 $a, b$ を求めよ．さらに，放物線 $y = f (x)$ ， $x$ 軸および直線 $y = 2 x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文系第3問

放物線が $x$ 軸に接する条件と，直線との差が重解をもつ条件を判別式で表す。係数決定後は接点と直線の $x$ 軸交点を確認し，区間を二つに分けて面積を積分する。

$x$ 軸との接点を $(r, 0)$ と置いて $f (x) = (x - r)^{2}$ と表す。もう一方の接線の傾きから接点を決め、図で境界の切替点を確認して二つの合同な積分へ分ける。

$y = f (x)$ が $x$ 軸に接するから，二次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ は重解をもつ。よって

a^{2} - 4 b = 0

である。また直線 $y = 2 x + 3$ に接するから

f (x) - (2 x + 3) = x^{2} + (a - 2) x + b - 3

も重解をもつ。したがって

(a - 2)^{2} - 4 (b - 3) = 0

である。 $b = \frac{a ^{2}}{4}$ を代入すると

(a - 2)^{2} - a^{2} + 12 = 0

より $a = 4$ であり， $b = 4$ である。

このとき

f (x) = (x + 2)^{2}, f (x) - (2 x + 3) = (x + 1)^{2}

である。放物線と $x$ 軸の接点は $(- 2, 0)$ ，直線と $x$ 軸の交点は $(- \frac{3}{2}, 0)$ ，放物線と直線の接点は $(- 1, 1)$ である。よって求める面積は

\int_{- 2}^{- 3/2} (x + 2)^{2} d x + \int_{- 3/2}^{- 1} (x + 1)^{2} d x

である。これを計算して

\frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}

となる。

$x$ 軸との接点を $(r, 0)$ とすると、最高次係数が1だから

f (x) = (x - r)^{2} . (1)

直線 $y = 2 x + 3$ との接点の $x$ 座標を $s$ とする。接線の傾きが2なので

f^{'} (s) = 2 (s - r) = 2, s = r + 1.

接点では $f (s) = 1$ であり、直線上でもあるから

1 = 2 s + 3 = 2 (r + 1) + 3.

したがって $r = - 2$ 、 $s = - 1$ で、

f (x) = (x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4.

よって $a = 4, b = 4$ である。

直線と $x$ 軸の交点は $x = - 3/2$ である。図の左側では $t = x + 2$ 、右側では $u = - x - 1$ と置くと、どちらの面積も

\int_{0}^{1/2} z^{2} d z = \frac{1}{24}

となる。したがって全体の面積は

2 \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{12} .