熊本大学 2019年度文系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(問2) 座標平面上の2曲線

C_{1} : y = x^{2} + 2 p x - 2 p, C_{2} : y = x^{3}

の共有点がちょうど2個になるような実数 $p$ の値をすべて求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文系第3問

方針

解法1

共有点の $x$ 座標を求める方程式を作り， $(x - 1) (x^{2} - 2 p) = 0$ と因数分解する。 $x = 1$ と $x^{2} = 2 p$ から得られる実数解の個数を $p < 0, p = 0, p > 0$ と重なりの場合で分類する。

解法2

共有点が2個になるとき、交点方程式の三次式には重解がある。因数ごとの重なりを調べ、 $p = 0$ では $x = 0$ 、 $p = 1/2$ では $x = 1$ が接点になることを図でも確認する。

解答

解法1

(問2)

共有点の $x$ 座標は

x^{2} + 2 p x - 2 p = x^{3}

を満たす。これは

x^{3} - x^{2} - 2 p x + 2 p = 0

すなわち

(x - 1) (x^{2} - 2 p) = 0

である。

$p < 0$ のとき， $x^{2} = 2 p$ は実数解をもたないので共有点は $1$ 個である。 $p = 0$ のとき，解は $x = 1, 0$ であり，共有点はちょうど $2$ 個である。 $p > 0$ のとき， $x = 1, \pm 2 p$ が得られる。これがちょうど $2$ 個の異なる値になるのは， $2 p = 1$ のとき，すなわち $p = \frac{1}{2}$ のときである。

以上より，求める値は

p = 0, \frac{1}{2}

である。

解法2

共有点方程式を

F_{p} (x) = x^{3} - x^{2} - 2 p x + 2 p = (x - 1) (x^{2} - 2 p)

と書く。異なる共有点がちょうど2個であるには、三次方程式 $F_{p} (x) = 0$ が二つの異なる実数解をもち、その一方が重解でなければならない。

$x^{2} - 2 p$ 自身が重解をもつのは $p = 0$ のときで、この場合

F_{0} (x) = x^{2} (x - 1)

だから共有点の $x$ 座標は $0, 1$ である。

一方、一次因子と二次因子が同じ解をもつには

1^{2} - 2 p = 0

であればよい。したがって $p = 1/2$ であり、

F_{1/2} (x) = (x - 1)^{2} (x + 1)

となるから共有点の $x$ 座標は $- 1, 1$ である。よって

p = 0, p = \frac{1}{2}

である。

熊本大学 2019年度文系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問2)

解法2

熊本大学 2019年度
文系数学第3問（理工系）