熊本大学 2020年度 前期数学② 第4問

焦点の中点は $(2t,0)$、焦点間距離の半分は $t$ である。長半径は $\sqrt{2}t$ だから、短半径は$$\sqrt{(\sqrt{2}t{)}^2-t^2}=t\mathrm{.}$$したがって楕円 $C$ は$$\frac{(x-2t{)}^2}{2t^2}+\frac{y^2}{t^2}=1\mathrm{.}$$(1)

$y=x-1$ を楕円へ代入し、分母を払うと$$3x^2-(4t+4)x+2t^2+2=0.$$相異なる2共有点をもつ条件は判別式が正であることだから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle =(4t+4{)}^2-12(2t^2+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8(-t^2+4t-1)>0.}\end{array}$$よって$$2-\sqrt{3}<t<2+\sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)

2共有点を$$P_1=(x_1,x_1-1),P_2=(x_2,x_2-1)$$とする。原点と作る三角形の面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}\mid x_1(x_2-1)-x_2(x_1-1)\mid =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{x}_2-x_1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$二次方程式の2解の差から$$\mathrm{\mid }{x}_2-x_1\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{-t^2+4t-1}\mathrm{.}$$したがって$$S(t)=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{-t^2+4t-1}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{3-(t-2{)}^2}\mathrm{.}$$これは $t=2$ で最大となり、$$\max S=\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$

$X=(x-2t)\mathrm{/}(\sqrt{2}t),Y=y\mathrm{/}t$ により楕円を単位円へ移す。直線と円が2点で交わる条件を、円の中心から直線までの距離で求める。面積は元の座標で2解の差を使う。

(1)

座標変換$$X=\frac{x-2t}{\sqrt{2}t},Y=\frac{y}{t}$$により、楕円は単位円$$X^2+Y^2=1$$となる。直線 $y=x-1$ は$$Y=\sqrt{2}X+2-\frac{1}{t}$$すなわち$$\sqrt{2}X-Y+2-\frac{1}{t}=0$$となる。単位円と相異なる2点で交わる条件は、原点からこの直線までの距離が1未満であることだから、$$\frac{\mathrm{\mid }2-1\mathrm{/}t\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}<1.$$$t>0$ に注意して整理すると$$2-\sqrt{3}<\frac{1}{t}<2+\sqrt{3}\mathrm{.}$$両端の逆数が互いに入れ替わり、$$2-\sqrt{3}<t<2+\sqrt{3}$$を得る。

(2)

元の座標で共有点の $x$ 座標は$$3x^2-(4t+4)x+2t^2+2=0$$の2解である。判別式は $8(-t^2+4t-1)$ だから、解の差と原点を含む三角形の面積は$$S(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{8(-t^2+4t-1)}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{3-(t-2{)}^2}\mathrm{.}$$よって $t=2$ のとき$$\max S=\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$