熊本大学 2020年度 前期数学② 第3問

(1)

$0\leqq x<\pi \mathrm{/}2$ では $1\mathrm{/}{\cos }^{2}x$ は単調に増加する。$V(b)-V(a)$ は、半径 $a$ と $b$ の間の部分を回転してできる体積である。この部分は、高さ $1\mathrm{/}{\cos }^{2}a$ の円環柱を含み、高さ $1\mathrm{/}{\cos }^{2}b$ の円環柱に含まれる。

円環の底面積は $\pi (b^2-a^2)$ だから、$$\pi (b^2-a^2)\frac{1}{{\cos }^{2}a}\leqq V(b)-V(a)\leqq \pi (b^2-a^2)\frac{1}{{\cos }^{2}b}\mathrm{.}$$(2)

$h>0$ とし、(1) に $a=t,b=t+h$ を代入して $h$ で割ると$$\pi (2t+h)\frac{1}{{\cos }^{2}t}\leqq \frac{V(t+h)-V(t)}{h}\leqq \pi (2t+h)\frac{1}{{\cos }^2(t+h)}\mathrm{.}$$$h\to +0$ とすれば、はさみうちにより右微分係数は$$2\pi t\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{.}$$左側については (1) に $a=t+h,b=t$（$h<0$）を用いれば同じ極限を得る。したがって$$V^{\mathrm{\prime }}(t)=2\pi t\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{.}$$(3)

$V(0)=0$ だから$$V\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}t\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt\mathrm{.}$$部分積分により$$\int t\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt=t\tan t+\log (\cos t)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V\left(\frac{\pi }{3}\right)}& {\displaystyle =2\pi {[t\tan t+\log (\cos t)]}_0^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}{\pi }^2-2\pi \log 2\mathrm{.}}\end{array}$$

半径 $x$、厚さ $dx$、高さ ${\sec }^{2}x$ の円筒殻を積み重ね、$$V(t)=2\pi {\int }_0^{t}x{\sec }^{2}xdx$$を得る。この式から(1)の評価、(2)の微分、(3)の値を順に導く。

半径 $x$、高さ $1\mathrm{/}{\cos }^{2}x$ の薄い円筒殻の体積は$$2\pi x\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$$だから、$$V(t)=2\pi {\int }_0^{t}x\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx\mathrm{.}$$(1)

$a\leqq x\leqq b$ では$$\frac{1}{{\cos }^{2}a}\leqq \frac{1}{{\cos }^{2}x}\leqq \frac{1}{{\cos }^{2}b}\mathrm{.}$$正の $2\pi x$ を掛けて $[a,b]$ で積分すると$$\frac{1}{{\cos }^{2}a}{\int }_a^{b}2\pi xdx\leqq V(b)-V(a)\leqq \frac{1}{{\cos }^{2}b}{\int }_a^{b}2\pi xdx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_a^{b}2\pi xdx=\pi (b^2-a^2)$$より、所要の不等式を得る。

(2)

積分で定めた関数の微分により$$V^{\mathrm{\prime }}(t)=2\pi t\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{.}$$これは(1)の差商をはさみうちした結果と一致する。

(3) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle V\left(\frac{\pi }{3}\right)}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}t{\sec }^{2}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {[t\tan t+\log (\cos t)]}_0^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}{\pi }^2-2\pi \log 2\mathrm{.}}\end{array}$$