熊本大学 2019年度 前期理系数学 第3問

(問1)
共有点の $x$ 座標は$$x^2+2ax-2a+1=x^3+1$$を満たす。整理すると$$x^3-x^2-2ax+2a=0$$すなわち$$(x-1)(x^2-2a)=0$$である。$a<0$ のときは $x^2=2a$ が実数解をもたず，共有点は1個である。$a>0$ のときは $$x=1,\pm \sqrt{2a}$$ が得られる。共有点がちょうど2個になるには $1$ と $\sqrt{2a}$ が一致すればよいので$$a=\frac{1}{2}$$である。これは $a\mathrm{\ne }0$ を満たす。

(問2)
(問1)より $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であるから$$C_1:y=x^2+x,C_2:y=x^3+1$$である。交点の $x$ 座標は $-1,1$ であり，$$(x^3+1)-(x^2+x)=(x-1{)}^2(x+1)\geqq 0(-1\leqq x\leqq 1)$$である。

$-1\leqq x\leqq 0$ では $x^2+x\leqq 0\leqq x^3+1$ であり，さらに$$x^3+1-\{-(x^2+x)\}=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)\geqq 0$$であるから，回転断面は半径 $x^3+1$ の円である。$0\leqq x\leqq 1$ では両曲線は $x$ 軸の上側にあるので，回転断面は外半径 $x^3+1$，内半径 $x^2+x$ の輪である。よって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_{-1}^0(x^3+1{)}^{2}dx+\pi {\int }_0^1\{(x^3+1{)}^2-(x^2+x{)}^2\}dx$$である。ここで$${\int }_{-1}^0(x^3+1{)}^{2}dx=\frac{9}{14},{\int }_0^1\{(x^3+1{)}^2-(x^2+x{)}^2\}dx=\frac{64}{105}$$であるから$$V=\pi (\frac{9}{14}+\frac{64}{105})=\frac{263\pi }{210}$$である。

交点条件を重解の観点から処理した後、回転体を『外側の曲線が作る全円板』から『内側の曲線が正になる区間の穴』だけを引く立体として捉える。図で $[-1,0]$ に穴が生じないことを確認する。

(問1)
共有点方程式は$$(x-1)(x^2-2a)=0.$$$a\mathrm{\ne }0$ のもとで異なる実数解が2個になるには、$x=1$ が $x^2-2a=0$ の解と重なればよい。したがって$$a=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(問2)
このとき$$C_1:y=x^2+x,C_2:y=x^3+1,$$交点は $x=-1,1$ である。

$[-1,0]$ では $C_1$ は $x$ 軸以下にある。しかも$$(x^3+1)-\mathrm{\mid }{x}^2+x\mathrm{\mid }=(x+1)(x^2+1)\geqq 0,$$だから回転断面は $C_2$ を半径とする円板で、$C_1$ による穴は生じない。$[0,1]$ だけで $C_1$ が内側の穴を作る。

したがって、外側の円板を $[-1,1]$ 全体で積分し、穴を $[0,1]$ で引けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1(x^3+1{)}^{2}dx-\pi {\int }_0^1(x^2+x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{16}{7}-\frac{31}{30})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{263\pi }{210}\mathrm{.}}\end{array}$$