熊本大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の2曲線

C_{1} : y = x^{2} + 2 a x - 2 a + 1, C_{2} : y = x^{3} + 1

を考える．以下の問いに答えよ．

(問1) $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点がちょうど2個になるような実数 $a$ の値を求めよ．ただし $a \neq = 0$ とする．

(問2) (問1)で求めた $a$ に対し， $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期理系第3問

方針

解法1

共有点の方程式は前問型と同じく $(x - 1) (x^{2} - 2 a) = 0$ になる。 $a \neq = 0$ の条件の下で共有点が2個となる値を決める。体積では $[- 1, 0]$ で下側の曲線が $x$ 軸の下にあるため，回転断面が穴のない円板になる点を区間分けして積分する。

解法2

交点条件を重解の観点から処理した後、回転体を『外側の曲線が作る全円板』から『内側の曲線が正になる区間の穴』だけを引く立体として捉える。図で $[- 1, 0]$ に穴が生じないことを確認する。

解答

解法1

(問1)

共有点の $x$ 座標は

x^{2} + 2 a x - 2 a + 1 = x^{3} + 1

を満たす。整理すると

x^{3} - x^{2} - 2 a x + 2 a = 0

すなわち

(x - 1) (x^{2} - 2 a) = 0

である。 $a < 0$ のときは $x^{2} = 2 a$ が実数解をもたず，共有点は1個である。 $a > 0$ のときは $x = 1, \pm 2 a$ が得られる。共有点がちょうど2個になるには $1$ と $2 a$ が一致すればよいので

a = \frac{1}{2}

である。これは $a \neq = 0$ を満たす。

(問2)

(問1)より $a = \frac{1}{2}$ であるから

C_{1} : y = x^{2} + x, C_{2} : y = x^{3} + 1

である。交点の $x$ 座標は $- 1, 1$ であり，

(x^{3} + 1) - (x^{2} + x) = (x - 1)^{2} (x + 1) ≧ 0 (- 1 ≦ x ≦ 1)

である。

$- 1 ≦ x ≦ 0$ では $x^{2} + x ≦ 0 ≦ x^{3} + 1$ であり，さらに

x^{3} + 1 - {- (x^{2} + x)} = x^{3} + x^{2} + x + 1 = (x + 1) (x^{2} + 1) ≧ 0

であるから，回転断面は半径 $x^{3} + 1$ の円である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では両曲線は $x$ 軸の上側にあるので，回転断面は外半径 $x^{3} + 1$ ，内半径 $x^{2} + x$ の輪である。よって体積 $V$ は

V = π \int_{- 1}^{0} (x^{3} + 1)^{2} d x + π \int_{0}^{1} {(x^{3} + 1)^{2} - (x^{2} + x)^{2}} d x

である。ここで

\int_{- 1}^{0} (x^{3} + 1)^{2} d x = \frac{9}{14}, \int_{0}^{1} {(x^{3} + 1)^{2} - (x^{2} + x)^{2}} d x = \frac{64}{105}

であるから

V = π (\frac{9}{14} + \frac{64}{105}) = \frac{263 π}{210}

である。

解法2

(問1)

共有点方程式は

(x - 1) (x^{2} - 2 a) = 0.

$a \neq = 0$ のもとで異なる実数解が2個になるには、 $x = 1$ が $x^{2} - 2 a = 0$ の解と重なればよい。したがって

a = \frac{1}{2} .

(問2)

このとき

C_{1} : y = x^{2} + x, C_{2} : y = x^{3} + 1,

交点は $x = - 1, 1$ である。

$[- 1, 0]$ では $C_{1}$ は $x$ 軸以下にある。しかも

(x^{3} + 1) - ∣ x^{2} + x ∣ = (x + 1) (x^{2} + 1) ≧ 0,

だから回転断面は $C_{2}$ を半径とする円板で、 $C_{1}$ による穴は生じない。 $[0, 1]$ だけで $C_{1}$ が内側の穴を作る。

したがって、外側の円板を $[- 1, 1]$ 全体で積分し、穴を $[0, 1]$ で引けば

V = π \int_{- 1}^{1} (x^{3} + 1)^{2} d x - π \int_{0}^{1} (x^{2} + x)^{2} d x = π (\frac{16}{7} - \frac{31}{30}) = \frac{263 π}{210} .

熊本大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2019年度
理系数学第3問