熊本大学 2023年度 前期数学③ 第3問

(問1)
$A=(0,a)$ とおく。$a<0$ であり，$AP=2$ より$${\cos }^2\theta +(\sin \theta -a{)}^2=4$$である。したがって$$a^2-2a\sin \theta -3=0$$となる。$a<0$ であるから$$a=\sin \theta -\sqrt{{\sin }^2\theta +3}$$である。$$\overrightarrow{AQ}=4\overrightarrow{AP}$$ より $Q=4P-3A$ であるから，点 $Q$ の座標は$$(4\cos \theta ,\sin \theta +3\sqrt{{\sin }^2\theta +3})$$である。

(問2)$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ では $0\leqq \cos \theta \leqq 1$ であるから，$x$ 座標の最小値は $0$，最大値は $4$ である。

$s=\sin \theta$ とおくと $-1\leqq s\leqq 1$ であり，$y$ 座標は$$Y=s+3\sqrt{s^2+3}$$である。微分すると$$Y^{\mathrm{\prime }}=1+\frac{3s}{\sqrt{s^2+3}}$$である。$Y^{\mathrm{\prime }}=0$ となるのは $$s=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ のときであり，このとき$$Y=2\sqrt{6}$$である。また $Y(-1)=5,Y(1)=7$ であるから，$y$ 座標の最小値は $2\sqrt{6}$，最大値は $7$ である。

(問3)
$Q=(x(\theta ),y(\theta ))$ とおくと$$x(\theta )=4\cos \theta ,\frac{dy}{d\theta }=\cos \theta (1+\frac{3\sin \theta }{\sqrt{{\sin }^2\theta +3}})$$である。曲線は $(0,5)$ から $(0,7)$ までを右側にふくらんで結ぶので，$y$ 軸で囲まれる面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x(\theta )\frac{dy}{d\theta }d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}4{\cos }^2\theta (1+\frac{3\sin \theta }{\sqrt{{\sin }^2\theta +3}})d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$第2項の被積分関数は奇関数であるから積分は $0$ である。よって$$S=4{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta =2\pi$$である。

$s=\sin \theta$ として座標を整理する。$y$ 座標の上下限は平方して完全平方へ直すことで微分を使わず証明し、面積は標準解法と相補的な線積分 $-\int ydx$ で計算する。

(問1)
$A=(0,a)$、$a<0$ とおくと $AP=2$ より$$a=\sin \theta -\sqrt{{\sin }^2\theta +3}\mathrm{.}$$$Q=4P-3A$ だから$$Q=(4\cos \theta ,\sin \theta +3\sqrt{{\sin }^2\theta +3})\mathrm{.}$$(問2)
$0\leqq \cos \theta \leqq 1$ より、$x$ 座標の最小値は $0$、最大値は $4$ である。
$s=\sin \theta \in [-1,1]$ とし$$Y=s+3\sqrt{s^2+3}$$とおく。$2\sqrt{6}-s>0$ であり$$9(s^2+3)-(2\sqrt{6}-s{)}^2=8{(s+\frac{\sqrt{6}}{4})}^2\geqq 0$$だから $Y\geqq 2\sqrt{6}$、等号は $s=-\sqrt{6}\mathrm{/}4$ で成立する。また $7-s>0$ で$$(7-s{)}^2-9(s^2+3)=-2(4s+11)(s-1)\geqq 0$$だから $Y\leqq 7$、等号は $s=1$ で成立する。よって $y$ 座標の最小値は $2\sqrt{6}$、最大値は $7$ である。

(問3)
曲線を $\theta =-\pi \mathrm{/}2$ から $\pi \mathrm{/}2$ までたどると $(0,5)$ から $(0,7)$ へ進む。$y$ 軸上では $dx=0$ だから、面積は$$S=-{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}y(\theta )x^{\mathrm{\prime }}(\theta )d\theta \mathrm{.}$$$x^{\mathrm{\prime }}=-4\sin \theta$ を代入すると$$S=4{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}({\sin }^2\theta +3\sin \theta \sqrt{{\sin }^2\theta +3})d\theta \mathrm{.}$$第2項は奇関数なので消え、$$S=4{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^2\theta d\theta =2\pi$$である。