熊本大学 2023年度 前期数学③ 第4問

(問1)
交点の一つを $X$，$C_1,C_2$ の中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とする。交点における接線が直交することは，半径 $O_{1}X$ と $O_{2}X$ が直交することと同値である。したがって直角三角形 $O_{1}X{O}_2$ に三平方の定理を用いて$$d^2=r_1^2+r_2^2$$が必要十分条件である。

(問2)
求める円の中心を $(x,y)$，半径を $r$ とする。$C_1$ と直交する条件は$$x^2+y^2=r^2+r_1^2$$であり，$C_2$ と直交する条件は$$(x-p{)}^2+y^2=r^2+r_2^2$$である。両式を引くと$$-2px+p^2=r_2^2-r_1^2$$であるから$$x=\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}$$である。逆にこの直線上の任意の点を中心にとれば，$r^2=x^2+y^2-r_1^2$ として半径を定められる。実際，$p>r_1+r_2$ より$$\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}>r_1$$であるから $r^2>0$ である。したがって中心の軌跡は直線$$x=\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}$$である。

(問3)
3つの円の中心を $O_j=(x_j,y_j)$，半径を $r_j$ $(j=1,2,3)$ とする。求める円の中心を $X=(x,y)$，半径を $r$ とすれば，直交条件は$$\mathrm{\mid }X-O_j{\mathrm{\mid }}^2=r^2+r_j^2(j=1,2,3)$$である。$j=2,3$ の式から $j=1$ の式を引くと，$x,y$ についての2本の一次方程式が得られる。3つの中心は一直線上にないので，この2本の直線は平行でなく，交点 $X$ はただ1つに定まる。

あとは半径が正であることを確かめる。円 $1$ と円 $2$ は外部にあるので，中心間距離を $d$ とすれば $d>r_1+r_2$ である。円 $1$ と円 $2$ に対する等べき線上の点は，中心線上の足が円 $1$ の中心から$$\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$$だけ離れた位置にある。この値は $r_1$ より大きい。したがって，その等べき線上にある点 $X$ は円 $1$ の外部にあり，$$r^2=\mathrm{\mid }X-O_1{\mathrm{\mid }}^2-r_1^2>0$$である。よってこの $X$ を中心とし半径 $r$ の円が3つの円すべてに直交する。中心も半径も一意に定まるから，そのような円はただ1つ存在する。

3円の中心のうち2点を $x$ 軸上に置き、未知円の中心・半径に対する直交条件を座標で引き算する。最初の2円から $x$ 座標、第3円から $y$ 座標が一意に決まることと、外部条件から半径が正になることを同時に確認する。

(問1)
交点 $T$ で2円の半径はそれぞれ相手の接線と平行になる。よって接線が直交することと $\mathrm{\angle }{O}_{1}T{O}_2={90}^{\circ }$ は同値であり、$$d^2=r_1^2+r_2^2$$が必要十分条件である。

(問2)
未知円の中心を $(x,y)$、半径を $\rho$ とすると$$x^2+y^2={\rho }^2+r_1^2,(x-p{)}^2+y^2={\rho }^2+r_2^2\mathrm{.}$$差をとって$$x=\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}$$を得る。さらに $p>r_1+r_2$ よりこの値は $r_1$ より大きいので、任意の $y$ に対して
${\rho }^2=x^2+y^2-r_1^2>0$ である。したがって軌跡は上の直線全体である。

(問3)
座標を回転・平行移動して、3円の中心を$$O_1=(0,0),O_2=(d,0),O_3=(u,v)(v\mathrm{\ne }0)$$とする。半径をそれぞれ $r_1,r_2,r_3$、未知円の中心を $(x,y)$、半径を $\rho$ とする。直交条件は$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\rho }^2+r_1^2,\\ (x-d{)}^2+y^2={\rho }^2+r_2^2,\\ (x-u{)}^2+(y-v{)}^2={\rho }^2+r_3^2\mathrm{.}\end{array}$$第2式と第1式の差から$$x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$$が一意に定まり、第3式と第1式の差は $v\mathrm{\ne }0$ なので $y$ を一意に定める。さらに $d>r_1+r_2$ より $x>r_1$ であり、$${\rho }^2=x^2+y^2-r_1^2>0.$$よって実在する円の中心と半径がともに一意に定まり、そのような円はただ1つ存在する。