熊本大学 2019年度 前期 図形と方程式・関数文系数学 第3問

(問2)
共有点の $x$ 座標は$$x^2+2px-2p=x^3$$を満たす。これは$$x^3-x^2-2px+2p=0$$すなわち$$(x-1)(x^2-2p)=0$$である。

$p<0$ のとき，$x^2=2p$ は実数解をもたないので共有点は $1$ 個である。$p=0$ のとき，解は $x=1,0$ であり，共有点はちょうど $2$ 個である。$p>0$ のとき，$$x=1,\pm \sqrt{2p}$$ が得られる。これがちょうど $2$ 個の異なる値になるのは，$$\sqrt{2p}=1$$ のとき，すなわち $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。

以上より，求める値は$$p=0,\frac{1}{2}$$である。

共有点が2個になるとき、交点方程式の三次式には重解がある。因数ごとの重なりを調べ、$p=0$ では $x=0$、$p=1\mathrm{/}2$ では $x=1$ が接点になることを図でも確認する。

共有点方程式を$$F_p(x)=x^3-x^2-2px+2p=(x-1)(x^2-2p)$$と書く。異なる共有点がちょうど2個であるには、三次方程式 $F_p(x)=0$ が二つの異なる実数解をもち、その一方が重解でなければならない。

$x^2-2p$ 自身が重解をもつのは $p=0$ のときで、この場合$$F_0(x)=x^2(x-1)$$だから共有点の $x$ 座標は $0,1$ である。

一方、一次因子と二次因子が同じ解をもつには$$1^2-2p=0$$であればよい。したがって $p=1\mathrm{/}2$ であり、$$F_{1\mathrm{/}2}(x)=(x-1{)}^2(x+1)$$となるから共有点の $x$ 座標は $-1,1$ である。よって$$p=0,p=\frac{1}{2}$$である。