熊本大学 2020年度 前期数学③ 第4問

(1)

$x=k$（$1\leqq k\leqq n-1$）と固定する。与えられた不等式は$$0<y<n{\log }_2(1+\frac{k}{n})$$と同値である。正の実数 $M$ に対し、$0<y<M$ を満たす整数 $y$ の個数を $N(M)$ とすれば$$M-1\leqq N(M)<M\mathrm{.}$$ここで$$M_k=n{\log }_2(1+\frac{k}{n})$$と置き、$k=1,2,\dots ,n-1$ について足し合わせると$$\sum _{k=1}^{n-1}(M_k-1)\leqq P(n)<\sum _{k=1}^{n-1}{M}_k,$$すなわち所要の不等式を得る。

(2)

(1) を $n^2$ で割る。上下の評価の差は$$\frac{n-1}{n^2}⟶0.$$また$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n-1}{M}_k=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}{\log }_2(1+\frac{k}{n})$$は $f(x)={\log }_2(1+x)$ の $[0,1]$ におけるリーマン和である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\log }_2(1+x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{\log 2}{\int }_0^1\log (1+x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{\log 2}{[(1+x)\log (1+x)-(1+x)]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\frac{1}{\log 2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $\log$ は自然対数である。

(3) $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2\log 2}<0$$だから、$f$ は $[0,1]$ で狭義凹である。したがって各小区間でグラフは両端を結ぶ弦より上にある。

小区間ごとの台形の面積を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L={\int }_0^{1}f(x)dx}& {\displaystyle >\frac{1}{n}\{\frac{1}{2}f(0)+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{2}f(1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{2n},}\end{array}$$ただし $f(0)=0,f(1)=1$ を使った。一方、(1) の上側評価から$$\frac{P(n)}{n^2}<\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\mathrm{.}$$2式を合わせて$$L-\frac{P(n)}{n^2}>\frac{1}{2n}$$を得る。

各縦列の格子点数を $\lceil M_k\rceil -1$ と正確に表し、そこから(1)を導く。(3) は凹関数の定義に基づく弦の不等式を各小区間で積分し、端点補正 $1\mathrm{/}(2n)$ を直接取り出す。

(1)

$M_k=n{\log }_2(1+k\mathrm{/}n)$ と置く。$0<y<M_k$ を満たす正整数の個数は$$N_k=\lceil M_k\rceil -1$$である。任意の実数 $M_k$ に対し$$M_k-1\leqq \lceil M_k\rceil -1<M_k$$だから、$$P(n)=\sum _{k=1}^{n-1}{N}_k$$ に代入して(1)を得る。

(2)

(1) の両端を $n^2$ で割ると、誤差は高々 $(n-1)\mathrm{/}{n}^2$ で0へ収束する。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{n^2}={\int }_0^1{\log }_2(1+x)dx=2-\frac{1}{\log 2}\mathrm{.}$$(3)

$f(x)={\log }_2(1+x)$ は狭義凹である。$a=k\mathrm{/}n,b=(k+1)\mathrm{/}n$ とし、$0<\lambda <1$ に対して$$f((1-\lambda )a+\lambda b)>(1-\lambda )f(a)+\lambda f(b)\mathrm{.}$$この不等式を $$x=(1-\lambda )a+\lambda b$$ として小区間上で積分すると$${\int }_{k\mathrm{/}n}^{(k+1)\mathrm{/}n}f(x)dx>\frac{1}{2n}\{f\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{k+1}{n}\right)\}\mathrm{.}$$$k=0,1,\dots ,n-1$ について足せば$$L>\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{f(0)+f(1)}{2n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{2n}\mathrm{.}$$さらに(1)より $P(n)\mathrm{/}{n}^2$ はこの和より真に小さいので、所要の$$L-\frac{P(n)}{n^2}>\frac{1}{2n}$$が従う。