熊本大学 2020年度 前期数学③ 第2問

(1)

複素数平面で全点に $\bar{\alpha }$ を掛けると、$$0⟼0,\alpha ⟼\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2,\beta ⟼\bar{\alpha }\beta \mathrm{.}$$したがって $\mathrm{△}OAB$ は $\mathrm{△}OCD$ に移る。この変換は長さを $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ 倍するので、面積を $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$ 倍する。よって$$\frac{S_2}{S_1}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$(2)$$\alpha =p+qi,\beta =r+si$$ とおく。座標平面の三角形の面積公式から$$S_1=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }ps-qr\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$一方、$$\bar{\alpha }\beta =(p-qi)(r+si)=pr+qs+(ps-qr)i$$だから$$S_1=\frac{1}{2}\mid \mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )\mid \mathrm{.}$$(3)

(2) を $\alpha =z,\beta =1\mathrm{/}z$ に用いると、面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}\mid \mathrm{Im}\left(\frac{\bar{z}}{z}\right)\mid \mathrm{.}$$$z=a+bi$ より$$\frac{\bar{z}}{z}=\frac{(a-bi{)}^2}{a^2+b^2}$$なので$$S=\frac{ab}{a^2+b^2}\mathrm{.}$$$r=b\mathrm{/}a$ とおけば $1\mathrm{/}2\leqq r\leqq 3$ で、$$S=\frac{r}{1+r^2},S^{\mathrm{\prime }}(r)=\frac{1-r^2}{(1+r^2{)}^2}\mathrm{.}$$したがって $r=1$ で最大となる。また両端を比較すると$$S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5},S(3)=\frac{3}{10}\mathrm{.}$$よって$$\max S=\frac{1}{2},\min S=\frac{3}{10}\mathrm{.}$$最大値は例えば $a=b=1$、最小値は $(a,b)=(1,3)$ で実現する。

複素数を平面ベクトルとみなし、2本のベクトルの行列式で面積を表す。(1) は乗法写像の行列式、(2)(3) は座標をそのまま代入して処理する。

(1)

$\bar{\alpha }=u+vi$ とすると、写像 $w\mapsto \bar{\alpha }w$ の実行列は$$\left(\begin{array}{cc}u& -v\\ v& u\end{array}\right)$$であり、その行列式は$$u^2+v^2=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$面積は行列式の絶対値倍になるので $S_2\mathrm{/}{S}_1=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$ である。

(2)

$\alpha =p+qi,\beta =r+si$ に対応するベクトルは $(p,q),(r,s)$ である。よって$$S_1=\frac{1}{2}\mid \det \left(\begin{array}{cc}p& r\\ q& s\end{array}\right)\mid =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }ps-qr\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$また $$ps-qr=\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )$$ だから、所要の式を得る。

(3) $$P=(a,b),Q=(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2})\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid a(-\frac{b}{a^2+b^2})-b\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{ab}{a^2+b^2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで相加相乗平均から$$a^2+b^2\geqq 2ab$$なので $S\leqq 1\mathrm{/}2$ であり、$a=b$ のとき等号が成立する。一方 $r=b\mathrm{/}a\in [1\mathrm{/}2,3]$ とすると $S=r\mathrm{/}(1+r^2)$ で、$r=1$ から離れるほど小さくなる。端点比較により最小値は $r=3$ のときの $3\mathrm{/}10$ である。