熊本大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

座標空間の $6$ 点 $A (2, 0, 0),$ $B (0, 3, 0),$ $C (0, 0, 1),$ $D (3, - 1, \frac{5}{6}),$ $E (8, 4, - \frac{1}{3}),$ $F (5, 3, \frac{1}{2})$ について,以下の問いに答えよ．(問1)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ は一直線上にないこと,および $3$ 点 $D,$ $E,$ $F$ は一直線上にないことを示せ．(問2)　 $3$ 点 $A,$ $B,$ $C$ を通る平面と, $3$ 点 $D,$ $E,$ $F$ を通る平面の交わりとして得られる直線を $l$ とする． $l$ 上の点を $1$ つと, $l$ と平行なベクトルを $1$ つ求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期文系第1問

方針

解法1（2平面の方程式を連立する方法）

3点が一直線上にないことは，2本の方向ベクトルが比例しないことで示す。各平面の方程式を求め，連立して交線を媒介変数表示する。

解法2（外積で2平面の法線と交線方向を求める方法）

2本の方向ベクトルの外積が零ベクトルでないことから非共線性を示す。その外積を各平面の法線とし、2法線の外積から交線方向を直接得る。

解答

解法1（2平面の方程式を連立する方法）

(問1)

A B = (- 2, 3, 0), A C = (- 2, 0, 1)

であり，この2つのベクトルは比例しない。したがって $A, B, C$ は一直線上にない。

また

D E = (5, 5, - \frac{7}{6}), D F = (2, 4, - \frac{1}{3})

である。第1成分と第2成分の比が一致しないので，この2つのベクトルも比例しない。したがって $D, E, F$ は一直線上にない。

(問2)

$A, B, C$ を通る平面は，切片の形から

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1

すなわち

3 x + 2 y + 6 z = 6

である。 $D, E, F$ を通る平面は，法線ベクトルとして $(9, - 2, 30)$ をとれるので

9 x - 2 y + 30 z = 54

である。この2式を連立する。 $z = s$ とおくと

x = 5 - 3 s, y = \frac{3 s - 9}{2}

である。例えば $s = 1$ とすると，交線上の点として

(2, - 3, 1)

を得る。また， $s$ を $2$ だけ増やすと座標の変化は

(- 6, 3, 2)

である。したがって， $l$ 上の点の一つは $(2, - 3, 1)$ ， $l$ と平行なベクトルの一つは $(- 6, 3, 2)$ である。

解法2（外積で2平面の法線と交線方向を求める方法）

(問1)

A B = (- 2, 3, 0), A C = (- 2, 0, 1)

だから

A B \times A C = (3, 2, 6) \neq = 0 .

よって $A, B, C$ は一直線上にない。同様に

D E = (5, 5, - \frac{7}{6}), D F = (2, 4, - \frac{1}{3})

であり、

D E \times D F = (3, - \frac{2}{3}, 10) \neq = 0

なので、 $D, E, F$ も一直線上にない。

(問2)

上の外積から、2平面の法線ベクトルを

n_{1} = (3, 2, 6), n_{2} = (9, - 2, 30)

ととれる。したがって平面方程式は

3 x + 2 y + 6 z = 6, 9 x - 2 y + 30 z = 54.

交線に平行なベクトルは両法線に垂直だから

n_{1} \times n_{2} = (72, - 36, - 24) = 12 (6, - 3, - 2) .

また、2平面の式に $z = 1$ を代入すると $x = 2, y = - 3$ を得る。よって、例えば

(2, - 3, 1), (6, - 3, - 2)

がそれぞれ $l$ 上の点、 $l$ に平行なベクトルである。

熊本大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（2平面の方程式を連立する方法）

解法2（外積で2平面の法線と交線方向を求める方法）

解答

解法1（2平面の方程式を連立する方法）

(問1)

(問2)

解法2（外積で2平面の法線と交線方向を求める方法）

(問1)

(問2)

熊本大学 2022年度
文系数学第1問