熊本大学 2022年度 前期文系数学 第1問

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-2,3,0),\overrightarrow{AC}=(-2,0,1)$$であり，この2つのベクトルは比例しない。したがって $A,B,C$ は一直線上にない。

また$$\overrightarrow{DE}=(5,5,-\frac{7}{6}),\overrightarrow{DF}=(2,4,-\frac{1}{3})$$である。第1成分と第2成分の比が一致しないので，この2つのベクトルも比例しない。したがって $D,E,F$ は一直線上にない。

(問2)
$A,B,C$ を通る平面は，切片の形から$$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+z=1$$すなわち$$3x+2y+6z=6$$である。$D,E,F$ を通る平面は，法線ベクトルとして $(9,-2,30)$ をとれるので$$9x-2y+30z=54$$である。この2式を連立する。$z=s$ とおくと$$x=5-3s,y=\frac{3s-9}{2}$$である。例えば $s=1$ とすると，交線上の点として$$(2,-3,1)$$を得る。また，$s$ を $2$ だけ増やすと座標の変化は$$(-6,3,2)$$である。したがって，$l$ 上の点の一つは $(2,-3,1)$，$l$ と平行なベクトルの一つは $(-6,3,2)$ である。

2本の方向ベクトルの外積が零ベクトルでないことから非共線性を示す。
その外積を各平面の法線とし、2法線の外積から交線方向を直接得る。

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-2,3,0),\overrightarrow{AC}=(-2,0,1)$$だから$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3,2,6)\mathrm{\ne }\vec{0}\mathrm{.}$$よって $A,B,C$ は一直線上にない。同様に$$\overrightarrow{DE}=(5,5,-\frac{7}{6}),\overrightarrow{DF}=(2,4,-\frac{1}{3})$$であり、$$\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{DF}=(3,-\frac{2}{3},10)\mathrm{\ne }\vec{0}$$なので、$D,E,F$ も一直線上にない。

(問2)
上の外積から、2平面の法線ベクトルを$${\vec{n}}_1=(3,2,6),{\vec{n}}_2=(9,-2,30)$$ととれる。したがって平面方程式は$$3x+2y+6z=6,9x-2y+30z=54.$$交線に平行なベクトルは両法線に垂直だから$${\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(72,-36,-24)=12(6,-3,-2)\mathrm{.}$$また、2平面の式に $z=1$ を代入すると $x=2,y=-3$ を得る。
よって、例えば$$(2,-3,1),(6,-3,-2)$$がそれぞれ $l$ 上の点、$l$ に平行なベクトルである。