熊本大学 2022年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の曲線 $y = x^{3} - 4 x^{2} - 4$ を $C$ とする．曲線 $C$ 上の点 $A$ $(4, - 4)$ を通り,傾きが $k$ の直線を $l$ とする．曲線 $C$ と直線 $l$ が点 $A$ の他に相異なる $2$ つの共有点 $P,$ $Q$ をもつとき,以下の問いに答えよ．(問1)　 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ．(問2)　点 $P,$ $Q$ における曲線 $C$ の接線をそれぞれ $l_{P},$ $l_{Q}$ とする． $k$ が(問1)の範囲にあるとき,接線 $l_{P}$ と $l_{Q}$ の交点が描く曲線の方程式を求めよ．(問3)　(問2)の曲線と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期文系第4問

方針

解法1（2交点を正負の平方根で表す方法）

直線と曲線の交点方程式を $(x - 4) (x^{2} - k) = 0$ に因数分解し， $k$ の範囲を決める。残り2交点を $x = \pm s$ として接線を立て，交点座標から $s$ を消去して軌跡を求める。最後に軌跡の放物線と $x$ 軸で囲まれる面積を積分する。

解法2（Vietaの関係で接線の交点を対称式化する方法）

A以外の2交点の座標を個別に解かず、2次因子の和と積を使う。接線方程式では $u^{2} = k$ を保ったまま2本を加減し、交点を $k$ の式で求める。

解答

解法1（2交点を正負の平方根で表す方法）

(問1)

直線 $l$ は

y + 4 = k (x - 4)

である。曲線との交点は

x^{3} - 4 x^{2} - 4 = k (x - 4) - 4

すなわち

(x - 4) (x^{2} - k) = 0

を満たす。点 $A$ 以外に相異なる2点をもつには， $x^{2} = k$ が相異なる2つの実数解をもち，かつ $x = 4$ を解にもたなければよい。したがって

k > 0, k \neq = 16

である。

(問2)

$s = k$ とおく。 $s > 0, s \neq = 4$ であり， $P, Q$ の $x$ 座標は $s, - s$ である。曲線の導関数は

y^{'} = 3 x^{2} - 8 x

である。曲線上の $x = u$ における接線は

y = (3 u^{2} - 8 u) x - 2 u^{3} + 4 u^{2} - 4

である。 $u = s$ と $u = - s$ の接線を連立すると，交点 $(X, Y)$ は

X = - \frac{s ^{2}}{4}, Y = - \frac{3}{4} s^{4} + 4 s^{2} - 4

である。 $s^{2} = - 4 X$ を代入して

Y = - 12 X^{2} - 16 X - 4

を得る。したがって求める曲線は

y = - 12 x^{2} - 16 x - 4

である。ただし $x < 0$ で， $k = 16$ に対応する $x = - 4$ は除かれる。

(問3)

(問2)の曲線と $x$ 軸の交点は

- 12 x^{2} - 16 x - 4 = 0

より

x = - 1, x = - \frac{1}{3}

である。この間で曲線は $x$ 軸の上側にある。したがって面積は

\int_{- 1}^{- \frac{1}{3}} (- 12 x^{2} - 16 x - 4) d x = [- 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x]_{- 1}^{- \frac{1}{3}} = \frac{16}{27} .

よって求める面積は $\frac{16}{27}$ である。

解法2（Vietaの関係で接線の交点を対称式化する方法）

(問1)

直線 $l : y + 4 = k (x - 4)$ と曲線の交点方程式は

(x - 4) (x^{2} - k) = 0.

A以外に相異なる2点をもち、そのどちらもAでないための条件は

k > 0, k \neq = 16 .

(問2)

$s = k > 0$ とおく。 $x = u$ における接線は

y = (3 u^{2} - 8 u) x - 2 u^{3} + 4 u^{2} - 4.

$u = \pm s$ , $s^{2} = k$ を代入し、2本の接線の交点を $(X, Y)$ とすると

Y Y = (3 k - 8 s) X - 2 s k + 4 k - 4, = (3 k + 8 s) X + 2 s k + 4 k - 4.

2式の差と和から

X = - \frac{k}{4}, Y = - \frac{3}{4} k^{2} + 4 k - 4.

$k = - 4 X$ を消去して

Y = - 12 X^{2} - 16 X - 4

を得る。ただし $X < 0$ かつ $X \neq = - 4$ である。

(問3)

軌跡と $x$ 軸の交点は $x = - 1, - 1/3$ であり、この区間では軌跡が上側にある。よって面積は

\int_{- 1}^{- 1/3} (- 12 x^{2} - 16 x - 4) d x = [- 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x]_{- 1}^{- 1/3} = \frac{16}{27} .

熊本大学 2022年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（2交点を正負の平方根で表す方法）

解法2（Vietaの関係で接線の交点を対称式化する方法）

解答

解法1（2交点を正負の平方根で表す方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（Vietaの関係で接線の交点を対称式化する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
文系数学第4問