熊本大学 2022年度 前期 医学科理系数学 第2問

(問1)
$0\leqq x\leqq 1$ では$$0\leqq {\sin }^2\frac{\pi x}{2}\leqq 1$$であるから$$f(x)=\sqrt{1+{\sin }^2\frac{\pi x}{2}}\leqq \sqrt{2}$$である。等号は $x=1$ で成り立つので，最大値は $\sqrt{2}$ である。

(問2)
$0\leqq x\leqq 1$ では $$\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\geqq x$$ である。したがって$$f(x{)}^2=1+{\sin }^2\frac{\pi x}{2}\geqq 1+x^2\geqq 2x^2$$である。両辺は $0$ 以上なので$$f(x)\geqq \sqrt{2}x$$である。

(問3)
(問1)，(問2)より$$(\sqrt{2}x{)}^n\leqq \{f(x){\}}^n\leqq (\sqrt{2}{)}^n$$である。これを $0\leqq x\leqq 1$ で積分すると$$\frac{(\sqrt{2}{)}^n}{n+1}\leqq a_n\leqq (\sqrt{2}{)}^n$$である。よって$$\sqrt{2}\sqrt[n]{\frac{1}{n+1}}\leqq \sqrt[n]{a_n}\leqq \sqrt{2}$$である。与えられた極限から $\sqrt[n]{1\mathrm{/}(n+1)}\to 1$ であるので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\sqrt{2}$$である。

設問(2)は正弦関数とその弦の比較で示す。
設問(3)では $x=1$ 近傍の固定幅の区間だけを積分し、
最大値へ近づく下側評価を作る。

(問1)
$0\leqq x\leqq 1$ で $$0\leqq \sin (\pi x\mathrm{/}2)\leqq 1$$ だから$$f(x)\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$等号は $x=1$ で成り立つので、最大値は $\sqrt{2}$ である。

(問2)
$\sin t$ は $0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ で上に凸である。
したがってグラフは両端を結ぶ弦の上側にあり$$\sin \frac{\pi x}{2}\geqq x(0\leqq x\leqq 1)\mathrm{.}$$ゆえに$$f(x{)}^2\geqq 1+x^2\geqq 2x^2⟹f(x)\geqq \sqrt{2}x\mathrm{.}$$(問3)
$0<\epsilon <\sqrt{2}$ を固定する。連続性により、ある
$\delta >0$ が存在して $1-\delta \leqq x\leqq 1$ なら$$f(x)\geqq \sqrt{2}-\epsilon$$ となる。一方、問1から常に
$f(x)\leqq \sqrt{2}$ である。よって$$\delta (\sqrt{2}-\epsilon {)}^n\leqq a_n\leqq (\sqrt{2}{)}^n\mathrm{.}$$$n$ 乗根をとり $n\to \mathrm{\infty }$ とすれば$$\sqrt{2}-\epsilon \leqq \lim \sqrt[n]{a_n}\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$$\epsilon$ を0へ近づけて$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\sqrt{2}}\mathrm{.}$$