熊本大学 2022年度 前期 医学科理系数学 第3問

(問1)
接点の $x$ 座標を $a_n$ とする。曲線 $y=\sin x$ の $x=a_n$ における接線は$$y=\cos a_n(x-a_n)+\sin a_n$$である。この接線が $(-p,0)$ を通るので$$0=\cos a_n(-p-a_n)+\sin a_n$$である。ここで $\cos a_n=0$ なら $\sin a_n=0$ となって矛盾するから，$\cos a_n\mathrm{\ne }0$ である。したがって$$\tan a_n=a_n+p$$である。

(問2)
$F(x)=\tan x-x-p$ とおく。解 $a_n$ について$$F(a_n+\pi )=\tan a_n-a_n-\pi -p=-\pi <0$$である。一方，$a_n+\pi$ の右側の同じ枝では $\tan x$ は増加して $+\mathrm{\infty }$ に近づくため，次の解 $a_{n+1}$ は $a_n+\pi$ より右にある。したがって$$a_{n+1}-a_n>\pi$$である。

(問3)$$a_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ であるから，(問1)より$$\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}+p$$すなわち$$p=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$$である。(問2)を繰り返し用いると$$a_{n+1}>a_1+n\pi =\frac{\pi }{3}+n\pi$$である。よって$$\tan a_{n+1}=a_{n+1}+p>n\pi +\frac{\pi }{3}+\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}=n\pi +\sqrt{3}$$である。

接線条件を $H(x)=\tan x-x=p$ と表す。
各正の枝に解が1つずつあることを確認し、$H(x+\pi )=H(x)-\pi$ を使って
隣り合う解を比較する。

(問1)
接点を $(t,\sin t)$ とすると接線は$$y-\sin t=\cos t(x-t)\mathrm{.}$$これが $(-p,0)$ を通るので$$\sin t=(t+p)\cos t\mathrm{.}$$$\cos t=0$ ではこの式は成り立たないから割ることができ、$$\tan a_n=a_n+p\mathrm{.}$$(問2)$$H(x)=\tan x-x$$とおく。各区間$$I_n=((n-1)\pi ,(n-\frac{1}{2})\pi )$$では$$H^{\mathrm{\prime }}(x)={\tan }^{2}x\geqq 0$$で、左端の値は $-(n-1)\pi <p$、右端では $+\mathrm{\infty }$ となる。
よって $H(x)=p$ の解は各 $I_n$ にただ1つあり、それが $a_n$ である。
$a_n+\pi \in I_{n+1}$ であり$$H(a_n+\pi )=\tan a_n-a_n-\pi =p-\pi <p\mathrm{.}$$同じ枝で $H$ は増加するから$$a_{n+1}>a_n+\pi ,a_{n+1}-a_n>\pi \mathrm{.}$$(問3)
$a_1=\pi \mathrm{/}3$ と問1から$$p=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$問2を $n$ 回用いると$$a_{n+1}>a_1+n\pi =\frac{\pi }{3}+n\pi \mathrm{.}$$したがって$$\tan a_{n+1}=a_{n+1}+p>n\pi +\sqrt{3}\mathrm{.}$$