熊本大学 2024年度 前期数学① 第4問／数学② 第2問

(問1)$$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$$とおく。点$A$での接線は$OA$に垂直であるから$$\vec{a}\cdot (\vec{p}-\vec{a})=0$$であり、$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=2$より$$\vec{a}\cdot \vec{p}=4$$である。同様に$$\vec{b}\cdot \vec{p}=4$$である。$P$は二接線の交点なので$\vec{p}$は$\vec{a}+\vec{b}$の方向にあり、$$\vec{p}=t(\vec{a}+\vec{b})$$とおける。これを$\vec{a}\cdot \vec{p}=4$に代入すると$$t(4+\vec{a}\cdot \vec{b})=4$$である。よって$$\overrightarrow{OP}=\frac{4}{4+\vec{a}\cdot \vec{b}}(\vec{a}+\vec{b})$$である。

(問2)$$\vec{a}\cdot \vec{b}=-2\sqrt{3}$$のとき$$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=8-4\sqrt{3}$$である。したがって$$O{P}^2=\frac{16(8-4\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3}{)}^2}=16(2+\sqrt{3})$$となるので$$OP=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$である。

(問3)
座標を$$\vec{a}=(2,0),\vec{b}=(-\sqrt{3},1),\vec{c}=(-\sqrt{3},-1)$$とおくと、与えられた内積条件をすべて満たす。(問1)より$$P=(2,4+2\sqrt{3}),Q=(-\frac{4\sqrt{3}}{3},0),R=(2,-4-2\sqrt{3})$$である。よって$PR$を底辺とすると$$PR=8+4\sqrt{3}$$であり、$Q$から直線$PR$までの距離は$$2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$$である。したがって$$[\mathrm{△}PQR]=\frac{1}{2}(8+4\sqrt{3})(2+\frac{4\sqrt{3}}{3})=16+\frac{28\sqrt{3}}{3}$$である。

半径ベクトル$\vec{u}$をもつ円周上の点での接線を$\vec{u}\cdot \vec{x}=4$と表す。(問1)は候補ベクトルを2本の接線式へ代入して一意性を示し、数値条件では回転して$\vec{a}=(2,0)$と置き、連立一次方程式と行列式で面積を求める。

(問1)
位置ベクトル$\vec{u}$をもつ円周上の点での接線は$$\vec{u}\cdot \vec{x}=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=4$$である。したがって$P$の位置ベクトル$\vec{p}$は$$\vec{a}\cdot \vec{p}=4,\vec{b}\cdot \vec{p}=4$$を満たす。ここで$${\vec{p}}_0=\frac{4}{4+\vec{a}\cdot \vec{b}}(\vec{a}+\vec{b})$$とおけば、$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=2$より$$\vec{a}\cdot {\vec{p}}_0=\frac{4(4+\vec{a}\cdot \vec{b})}{4+\vec{a}\cdot \vec{b}}=4$$であり、$\vec{b}$についても同様である。2接線は平行でないから交点は一意であり、$\vec{p}={\vec{p}}_0$である。

(問2)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-2\sqrt{3}$を代入すると$$O{P}^2=\frac{16\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{(4-2\sqrt{3}{)}^2}=\frac{16(8-4\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3}{)}^2}=16(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$よって$$OP=4\sqrt{2+\sqrt{3}}=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})\mathrm{.}$$(問3)
図形全体を回転しても面積は変わらないので$$\vec{a}=(2,0),\vec{b}=(-\sqrt{3},1),\vec{c}=(-\sqrt{3},-1)$$と置ける。各接線を連立すると$$P=(2,4+2\sqrt{3}),Q=(-\frac{4\sqrt{3}}{3},0),R=(2,-4-2\sqrt{3})\mathrm{.}$$行列式で面積を計算すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\mathrm{△}PQR]}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid \det (\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(2+\frac{4\sqrt{3}}{3})(8+4\sqrt{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16+\frac{28\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$