熊本大学 2023年度 前期数学③ 第2問

(問1)
$\vec{u}=-{\vec{e}}_1=(-1,0)$ であるから$$A=(-1,0)$$である。$\vec{v}=(4,y)$ とおくと，$\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=2\sqrt{5}$，$\vec{v}\cdot {\vec{e}}_2<0$ より$$16+y^2=20,$$かつ $y<0$ であるから $y=-2$ である。よって $\vec{v}=(4,-2)$ であり$$B=A+\vec{v}=(3,-2)$$である。同様に $\vec{w}=(8,z)$ とおくと，$\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=8\sqrt{2}$，$\vec{w}\cdot {\vec{e}}_2>0$ より$$64+z^2=128,$$かつ $z>0$ であるから $z=8$ である。したがって$$C=B+\vec{w}=(11,6)$$である。

(問2)
求める円を$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$とおく。$A,B,C$ を代入すると$$\{\begin{array}{l}1-D+F=0,\\ 13+3D-2E+F=0,\\ 157+11D+6E+F=0\end{array}$$である。これを解くと$$D=-8,E=-10,F=-9$$である。したがって円の方程式は$$x^2+y^2-8x-10y-9=0$$である。

(問3)
(問2)の円の中心は$$P=(4,5)$$である。$$\overrightarrow{AB}=(4,-2)$$，$$\overrightarrow{AC}=(12,6)$$ より$$[\mathrm{△}ABC]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }4\cdot 6-(-2)\cdot 12\mathrm{\mid }=24$$である。また $$\overrightarrow{AP}=(5,5)$$ より$$[\mathrm{△}ABP]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }4\cdot 5-(-2)\cdot 5\mathrm{\mid }=15$$である。したがって面積の比は$$[\mathrm{△}ABC]:[\mathrm{△}ABP]=24:15=8:5$$である。

座標を復元した後、円の中心を $AB,AC$ の垂直二等分線の交点として求める。面積比は底辺 $AB$ を共通にし、点 $C,P$ から直線 $AB$ までの距離の比に置き換える。

(問1)
条件から$$\vec{u}=(-1,0),\vec{v}=(4,-2),\vec{w}=(8,8)$$である。したがって$$A=(-1,0),B=(3,-2),C=(11,6)$$を得る。

(問2)
線分 $AB$ の中点は $(1,-1)$、傾きは $-1\mathrm{/}2$ なので、その垂直二等分線は$$y=2x-3$$である。線分 $AC$ の中点は $(5,3)$、傾きは $1\mathrm{/}2$ なので、その垂直二等分線は$$y=-2x+13$$である。両直線の交点は $P=(4,5)$ であり、$P{A}^2=50$ だから円は$$(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=50,$$すなわち$$x^2+y^2-8x-10y-9=0$$である。

(問3)
直線 $AB$ の方程式は$$x+2y+1=0$$である。三角形 $ABC$ と $ABP$ は底辺 $AB$ を共有するので、面積比は $C,P$ から直線 $AB$ までの距離の比に等しい。よって$$[\mathrm{△}ABC]:[\mathrm{△}ABP]=\mathrm{\mid }11+2\cdot 6+1\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }4+2\cdot 5+1\mathrm{\mid }=24:15=8:5.$$