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熊本大学 2023年度 前期数学① 第3問

原点をOとする座標平面上に3点A,B,Cがある．OA→=u→,AB→=v→,BC→=w→とおく．e1→=(1,0),e2→=(0,1)とするとき,3つのベクトルu→,v→,w→はu→=−e1→,v→⋅e1→=4,∣v→∣=25,v→⋅e2→<0,w→⋅e1→=8,∣w→∣=82,w→⋅e2→>0を満たすとする．ただし,∣x→∣はベクトルx→の大きさを表し,x→⋅y→は2つのベクトルx→とy→の内積を表す．以下の問いに答えよ．
(問1)　3点A,B,Cの座標をそれぞれ求めよ．
(問2)　3点A,B,Cを通る円の方程式を求めよ．
(問3)　3点A,B,Cを通る円の中心をPとするとき,△ABPの面積を求めよ．

難易度4/ 10計算量4/ 10目安12分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、座標設定、円の性質、面積計算

方針

与えられた内積と大きさから u⃗,v⃗,w⃗ の成分を求める。円は3点代入で決め，最後は円の中心 P を使って △ABP の面積を座標で計算する。

解答

(問1)
u⃗=−e⃗1=(−1,0) よりA=(−1,0)である。v⃗=(4,y) とおくと，∣v⃗∣=25，v⃗⋅e⃗2<0 より y=−2 である。したがってB=A+v⃗=(3,−2)である。w⃗=(8,z) とおくと，∣w⃗∣=82，w⃗⋅e⃗2>0 より z=8 である。よってC=B+w⃗=(11,6)である。

(問2)
円をx2+y2+Dx+Ey+F=0とおく。A,B,C を代入して解くとD=−8,E=−10,F=−9である。したがって求める円はx2+y2−8x−10y−9=0である。

(問3)
円の中心はP=(4,5)である。AB→=(4,−2)，AP→=(5,5) であるから[△ABP]=12∣4⋅5−(−2)⋅5∣=15である。

別解

解法2（垂直二等分線と点・直線間距離）

方針

成分条件から3点を求め、円の中心を2本の垂直二等分線の交点として構成する。最後の面積は AB を底辺とし、中心から直線 AB までの距離を使って求める。

解答

(問1)
条件と符号からu⃗=(−1,0),v⃗=(4,−2),w⃗=(8,8)である。したがってA=(−1,0),B=(3,−2),C=(11,6)である。

(問2)
AB の垂直二等分線は y=2x−3、AC の垂直二等分線は y=−2x+13 である。その交点はP=(4,5)で、PA2=50 だから円の方程式は(x−4)2+(y−5)2=50,すなわちx2+y2−8x−10y−9=0である。

(問3)
直線 AB は x+2y+1=0 でありAB=25,dist⁡(P,AB)=∣4+2⋅5+1∣5=35.したがって[△ABP]=12⋅25⋅35=15である。

総評

難度4，計算量4。想定時間は12分程度。第6 entry と同じ座標復元が核で，最後は面積比ではなく面積そのものを出す。円の中心 (4,5) を得た後の行列式計算を丁寧に行えばよい。位置づけは必答の得点源であり，途中計算を丁寧に残して確実に取り切りたい。

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出典: 熊本大学 2023年度 前期 数学①（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。