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熊本大学 2025年度 前期数学③ 第1問

平面上の4点A,B,C,Dについて,∣AB→∣=p>0,∣AD→∣=q>0,∠DAB=θ（0<θ<π）とする。以下の問いに答えよ。
(問1)　不等式∣AB→∣2+∣BC→∣2+∣CD→∣2+∣DA→∣2≧∣AC→∣2+∣BD→∣2を証明せよ。
(問2)　(問1)で等号が成り立つとき,四角形ABCDの面積をp,q,θを用いて表せ。

難易度4/ 10計算量4/ 10目安12分

ベクトル、論証・証明　座標設定、内積の利用、必要十分条件

方針

点 A を原点とし，AB→=b⃗，AD→=d⃗，AC→=c⃗ とおく。左辺−右辺を展開すると ∣c⃗−b⃗−d⃗∣2 になる。等号条件は c⃗=b⃗+d⃗，すなわち ABCD が平行四辺形になることを意味する。

解答

(問1)
点Aを原点とし、AB→=b⃗,AD→=d⃗,AC→=c⃗とおく。このときBC→=c⃗−b⃗,CD→=d⃗−c⃗,BD→=d⃗−b⃗である。よって与えられた不等式の左辺から右辺を引くと∣b⃗∣2+∣c⃗−b⃗∣2+∣d⃗−c⃗∣2+∣d⃗∣2−∣c⃗∣2−∣d⃗−b⃗∣2であり、これを整理すると∣c⃗−b⃗−d⃗∣2となる。これは0以上であるから、求める不等式が成り立つ。

(問2)
(問1)で等号が成り立つのはc⃗=b⃗+d⃗のときである。このとき四角形ABCDは、ABとADを隣り合う二辺とする平行四辺形である。したがって面積は∣AB→∣ ∣AD→∣sin⁡∠DAB=pqsin⁡θである。

【等号条件の幾何的意味】

c⃗=b⃗+d⃗ は平行四辺形の対角線法則そのものである。

総評

【公式解答例との対応】公式の展開結果と照合し，左辺−右辺が ∣AC→−AB→−AD→∣2 になること，等号時の面積が pqsin⁡θ であることを確認した。

難度4，計算量4，想定時間12分。四点の並びを図だけから平行四辺形と仮定してはいけない。まず平方が0となる等号条件 AC→=AB→+AD→ を得てから，平行四辺形であると結論する。

【独立検算】任意の二次元ベクトル b⃗,c⃗,d⃗ を代入して恒等式を展開確認した。面積は隣接二辺 b⃗,d⃗ の行列式の絶対値で pqsin⁡θ>0 となる。

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出典: 熊本大学 令和7年度一般選抜（前期日程）数学③（公式問題・解答例）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。