熊本大学 2024年度 前期数学① 第3問

(問1)
$t=x^2(t\geqq 0)$とおく。交点では$$t+{(\frac{t}{4}+a)}^2=8$$である。整理すると$$t^2+(8a+16)t+16a^2-128=0$$である。$$u=\sqrt{a+3}$$とおくと、二つの根は$$t=-4a-8\pm 8\sqrt{a+3}$$である。共有点が$4$個であるためには、$t$の二つの根が異なる正の数であればよい。これは$$0<u<\sqrt{2}-1$$と同値である。したがって$$-3<a<-2\sqrt{2}$$である。

(問2)
共有点が$2$個となる$a$の最小値は、(問1)の左端である$$a=-3$$である。このとき$$y=\frac{1}{4}{x}^2-3$$であり、円との交点は$$x^2+{(\frac{1}{4}{x}^2-3)}^2=8$$を満たす。$t=x^2$とおくと$(t-4{)}^2=0$であるから$x=\pm 2$、$y=-2$である。よって$$P=(-2,-2),Q=(2,-2)$$である。

(問3)
$a=-3$のとき、直線$PQ$は$y=-2$である。その下側で囲まれる部分は、$-2\leqq x\leqq 2$において下側の円弧$$y=-\sqrt{8-x^2}$$と放物線$$y=\frac{1}{4}{x}^2-3$$で囲まれる部分である。したがって面積は$${\int }_{-2}^2\{-\sqrt{8-x^2}-(\frac{1}{4}{x}^2-3)\}dx$$である。偶関数性を用いて$$2{\int }_0^2(3-\frac{x^2}{4}-\sqrt{8-x^2})dx=2(\frac{16}{3}-(2+\pi ))=\frac{20}{3}-2\pi$$である。

交点条件を$x^2=4(y-a)$として$y$だけの二次方程式へ落とし、各$y$に対応する$x$の個数を数える。面積は直線$PQ$と放物線の間から、直線$PQ$と円の下側の弧の間の円弧部分を引く。

(問1)
放物線から$x^2=4(y-a)$である。これを円へ代入すると$$y^2+4y-4a-8=0,$$したがって$$y=-2\pm 2\sqrt{a+3}\mathrm{.}$$各$y$について$x^2=4(y-a)>0$なら左右2点が生じる。$u=\sqrt{a+3}$とおくと、低い方の$y$に対する$x^2$は$$4\{-2-2u-(u^2-3)\}=4(1-2u-u^2)\mathrm{.}$$2つの$y$が異なり、どちらも$x^2>0$となる条件は$$0<u<\sqrt{2}-1.$$よって$$-3<a<-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(問2)
実数の$y$が初めて生じるのは$a=-3$で、このとき二次方程式は$(y+2{)}^2=0$である。$x^2=4(y-a)=4$より$$P=(-2,-2),Q=(2,-2)\mathrm{.}$$したがって求める最小値は$a=-3$である。

(問3)
直線$PQ$は$y=-2$である。直線$PQ$と放物線の間の面積は$${\int }_{-2}^2\{-2-(\frac{x^2}{4}-3)\}dx=\frac{8}{3}\mathrm{.}$$一方、円の半径は$2\sqrt{2}$で、弦$PQ$が作る下側の小弓形の中心角は$\pi \mathrm{/}2$である。その面積は$$\frac{1}{2}(2\sqrt{2}{)}^2\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=2\pi -4.$$求める領域は前者から小弓形を引いたものなので$$\frac{8}{3}-(2\pi -4)=\frac{20}{3}-2\pi \mathrm{.}$$