熊本大学 2024年度 前期 理工系数学② 第4問

(問1)
$n=1$の式から、$a_1<1$なら$a_2=1$、$a_1\geqq 1$なら$a_2={\log }_3{a}_1\geqq 0$である。したがって$a_2\geqq 0$である。

$n\geqq 2$で$a_n\geqq 0$とする。$a_n<1$なら$a_{n+1}=3^{n-1}>0$、$a_n\geqq 1$なら$$a_{n+1}={\log }_3{a}_n\geqq 0$$である。よって数学的帰納法により、$2$以上の自然数$n$に対して$a_n\geqq 0$である。

(問2)
$a_4<1$なら$a_5=3^3=27$となり、$a_4+a_5=1$に反する。したがって$a_4\geqq 1$であり$$a_5={\log }_3{a}_4$$である。$a_4+{\log }_3{a}_4=1$で、左辺は$a_4\geqq 1$で増加するから$$a_4=1,a_5=0$$である。

次に$a_3<1$なら$a_4=3^2=9$となるので不適である。よって$a_3\geqq 1$かつ${\log }_3{a}_3=1$であり$$a_3=3$$である。

(問3)
$a_3=3$となる$a_2$を求める。$a_2<1$なら$a_3=3$であり、$a_2\geqq 1$なら$a_3={\log }_3{a}_2=3$より$a_2=27$である。したがって$$0\leqq a_2<1\text{または}{a}_2=27$$である。よって$$m_2=0,M_2=27$$である。

また$a_1<1$なら$a_2=1$となり不適である。したがって$a_1\geqq 1$で、$a_2={\log }_3{a}_1$である。上の$a_2$の範囲から$$1\leqq a_1<3\text{または}{a}_1=3^{27}$$である。よって$$m_1=1,M_1=3^{27}$$である。したがって$$m_1+m_2+{\log }_3(M_1{M}_2)=1+0+{\log }_3(3^{27}\cdot 27)=31$$である。

各段の値を作る直前の値（逆像）を列挙する。$a_5$から$a_4,a_3$を一意に戻し、$a_3=3$の逆像を$a_2$、さらに$a_2$の逆像を$a_1$として集合で整理する。

(問1)
$a_1<1$なら$a_2=1$、$a_1\geqq 1$なら$a_2={\log }_3{a}_1\geqq 0$なので$a_2\geqq 0$である。さらに$a_n\geqq 0$なら、$a_n<1$の枝では$a_{n+1}=3^{n-1}>0$、$a_n\geqq 1$の枝では$a_{n+1}={\log }_3{a}_n\geqq 0$である。帰納法により$$a_n\geqq 0(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(問2)
$a_4<1$なら$a_5=27$となって$a_4+a_5=1$に反する。よって$a_4\geqq 1$で、$$a_4+{\log }_3{a}_4=1.$$左辺は$a_4\geqq 1$で狭義単調増加であり、$a_4=1$が解なので$$a_4=1,a_5=0.$$$a_4=1$の逆像を調べると、$a_3<1$の枝は$a_4=9$となるため不適であり、${\log }_3{a}_3=1$から$$a_3=3.$$(問3)
$a_3=3$の逆像は$$a_2\in [0,1)\text{または}{a}_2=27.$$したがって$m_2=0,M_2=27$である。次に$a_1<1$なら$a_2=1$となり上の集合に入らない。$a_1\geqq 1$では$a_2={\log }_3{a}_1$だから$$a_1\in [1,3)\text{または}{a}_1=3^{27}\mathrm{.}$$よって$m_1=1,M_1=3^{27}$である。以上から$$m_1+m_2+{\log }_3(M_1{M}_2)=1+0+{\log }_3(3^{27}\cdot 3^3)=31.$$