熊本大学 2026年度 前期数学① 第2問

図は一例として $c=-3\mathrm{/}2$ としたものである。中心は放物線上に並び，各円は $x$ 軸と隣の円に接する。

(問1)
円 $C_n$ の中心は $$(a_n,f(a_n))=(a_n,\frac{1}{4}{a}_n^2)$$ であり，半径は $\frac{1}{4}{a}_n^2$ である。円 $C_{n-1}$ と円 $C_n$ はともに $x$ 軸に接し，互いに外接するから，中心間距離は半径の和に等しい。したがって$$(a_{n-1}-a_n{)}^2+{(\frac{1}{4}{a}_{n-1}^2-\frac{1}{4}{a}_n^2)}^2={(\frac{1}{4}{a}_{n-1}^2+\frac{1}{4}{a}_n^2)}^2$$である。両辺を整理すると$$(a_{n-1}-a_n{)}^2=\frac{1}{4}(a_{n-1}{a}_n{)}^2$$を得る。

(問2)
$-2<a_{n-1}<0$ とする。(問1)より$$(a_n-a_{n-1}{)}^2=\frac{1}{4}(a_{n-1}{a}_n{)}^2$$である。$a_n>a_{n-1}$ を満たす解は$$a_n-a_{n-1}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}{a}_n$$から得られる$$a_n=\frac{2a_{n-1}}{2-a_{n-1}}$$である。実際，もう一方の解 $$a_n=\frac{2a_{n-1}}{2+a_{n-1}}$$ は $-2<a_{n-1}<0$ のもとで $a_n<a_{n-1}$ となり条件に合わない。

ここで $-2<a_{n-1}<0$ なら $2-a_{n-1}>2$ であるから，$a_n<0$ であり，また$$a_n+2=\frac{2a_{n-1}}{2-a_{n-1}}+2=\frac{4}{2-a_{n-1}}>0$$より $-2<a_n$ である。$a_1=c$ は $-2<c<0$ を満たすので，帰納的にすべての自然数 $n$ について $-2<a_n<0$ が成り立つ。

(問3)
上で得た関係を $n$ から $n+1$ にずらすと$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}{a}_n{a}_{n+1}$$である。両辺を $a_n{a}_{n+1}$ で割ると$$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}$$であるから，$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおけば$$b_{n+1}=b_n-\frac{1}{2}$$である。

(問4)
(問3)より $\{b_n\}$ は公差 $-\frac{1}{2}$ の等差数列であり，$b_1=\frac{1}{c}$ である。したがって$$b_n=\frac{1}{c}-\frac{n-1}{2}=\frac{2-c(n-1)}{2c}$$である。よって$$a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{2c}{2-c(n-1)}$$である。

最後に得られた式から$$a_{n+1}-a_n=\frac{2c}{2-cn}-\frac{2c}{2-c(n-1)}=\frac{1}{2}{a}_n{a}_{n+1}$$も成り立ち，選んだ符号と一般項が元の接触条件に戻ることを確認できる。