熊本大学 2025年度数学① 第4問｜問題・解答・解説

方針

絶対値の中身を $(x - a) (x - 1)$ と因数分解し， $a ≦ 1$ のもとでグラフの枝を確定する。交点は絶対値の正負ごとに求め， $a < 0$ と $0 ≦ a ≦ 1$ で領域の個数と上下関係を図・符号表で確認して積分する。得られた $S (a)$ の単調性から最小値を決める。

解答

(問1)
絶対値の中身は $x^{2} - (a + 1) x + a = (x - a) (x - 1)$ である。共有点では $x - a ≧ 0$ である。

$(x - a) (x - 1) ≧ 0$ のとき $(x - a) (x - 1) = x - a$ より $(x - a) (x - 2) = 0$ である。したがって $x = a, 2$ を得る。

$(x - a) (x - 1) < 0$ のとき $- (x - a) (x - 1) = x - a$ より $(x - a) x = 0$ である。このうち新しく得られるのは、 $a < 0$ のときの $x = 0$ である。

よって共有点の $x$ 座標は、 $a < 0$ のとき $a, 0, 2$ 、 $0 ≦ a ≦ 1$ のとき $a, 2$ である。

(問2)
$0 ≦ a ≦ 1$ のとき、直線は曲線の上側にあり $S (a) = \int_{a}^{1} x (x - a) d x + \int_{1}^{2} (x - a) (2 - x) d x$ である。したがって $S (a) = 1 - a + \frac{a^{3}}{6}$ である。

$a < 0$ のとき、 $[a, 0]$ では曲線が直線の上側、 $[0, 2]$ では直線が曲線の上側であるから $S (a) = \int_{a}^{0} {- x (x - a)} d x + \int_{0}^{1} x (x - a) d x + \int_{1}^{2} (x - a) (2 - x) d x$ である。よって $S (a) = 1 - a - \frac{a^{3}}{6}$ である。

以上より $S (a) = {\begin{cases} 1 - a - \frac{a^{3}}{6} & (a < 0), \\ 1 - a + \frac{a^{3}}{6} & (0 ≦ a ≦ 1) \end{cases}$ である。

(問3)
$a < 0$ では $S^{'} (a) = - 1 - \frac{a^{2}}{2} < 0$ である。また $0 ≦ a ≦ 1$ では $S^{'} (a) = - 1 + \frac{a^{2}}{2} < 0$ である。したがって $a ≦ 1$ で $S (a)$ は単調に減少し、最小値は $a = 1$ でとる。ゆえに $S (1) = \frac{1}{6}$ である。

【場合分けの図】
次は $a = - 1$ の代表図である。この場合だけ交点 $x = a, 0, 2$ が三つあり， $[a, 0]$ と $[0, 2]$ の二領域を加える。

総評

【公式解答例との対応】公式解答例の $a ≦ 0$ と $0 < a ≦ 1$ の場合分けと照合した。本解答では重複交点を明確にするため $a < 0$ と $0 ≦ a ≦ 1$ に分けているが， $a = 0$ では両面積式がともに1で一致する。最小値は公式どおり $1 / 6$ である。

難度6，計算量7，想定時間25分。交点方程式を解くだけでなく，その解が絶対値のどちらの枝に属するかを確認する必要がある。 $a < 0$ のときだけ $x = 0$ が独立な交点となり，領域が二つに分かれる。

【独立検算】 $S (a) = 1 - a - ∣ a ∣^{3} / 6$ （ $a ≦ 0$ ）， $S (a) = 1 - a + a^{3} / 6$ （ $0 ≦ a ≦ 1$ ）として数値積分と照合した。両区間で導関数は負で，端点 $a = 1$ が唯一の最小点である。

出典: 熊本大学令和7年度一般選抜（前期日程）数学①（公式問題・解答例）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

熊本大学 2025年度 前期数学① 第4問

方針

解答

総評

熊本大学 2025年度前期数学① 第4問