熊本大学 2025年度 前期数学② 第1問

(問1)
$z_n=x_n+y_{n}i$とおく。漸化式より$$z_{n+1}=3x_n+(2x_n-y_n)i$$であるから$$x_{n+1}=3x_n$$である。$z_1=1$より$x_1=1$であり、$${\alpha }_n=z_n+\overline{z_n}=2x_n$$だから$${\alpha }_n=2\cdot 3^{n-1}$$である。

(問2)$${\beta }_n=(2-i)z_n-(2+i)\overline{z_n}=2i(2y_n-x_n)$$である。また$$2y_{n+1}-x_{n+1}=2(2x_n-y_n)-3x_n=-(2y_n-x_n)$$であるから$${\beta }_{n+1}=-{\beta }_n$$となる。${\beta }_1=-2i$なので$${\beta }_n=2(-1{)}^{n}i$$である。

(問3)
(問1)より$$x_n=3^{n-1}$$である。また(問2)より$$2y_n-x_n=(-1{)}^n$$であるから$$y_n=\frac{3^{n-1}+(-1{)}^n}{2}$$である。したがって$$z_n=3^{n-1}+\frac{3^{n-1}+(-1{)}^n}{2}i$$である。

実部・虚部へ分けず，漸化式とその共役を辺々加えて ${\alpha }_{n+1}$ を求める。次に定義へ漸化式を代入して ${\beta }_{n+1}=-{\beta }_n$ を示し，$z_n$ を ${\alpha }_n,{\beta }_n$ の一次結合として復元する。

(問1)
漸化式とその共役$$\overline{z_{n+1}}=(1-i)\overline{z_n}+(2-i)z_n$$を加えると$${\alpha }_{n+1}=3(z_n+\overline{z_n})=3{\alpha }_n\mathrm{.}$$${\alpha }_1=2$ より$${\alpha }_n=2\cdot 3^{n-1}\mathrm{.}$$(問2)
定義へ二つの漸化式を代入して整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\beta }_{n+1}}& {\displaystyle =(2-i)z_{n+1}-(2+i)\overline{z_{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(2-i)z_n+(2+i)\overline{z_n}=-{\beta }_n\mathrm{.}}\end{array}$$${\beta }_1=-2i$ だから ${\beta }_n=2(-1{)}^{n}i$ である。

(問3)
連立一次式$${\alpha }_n=z_n+\overline{z_n},{\beta }_n=(2-i)z_n-(2+i)\overline{z_n}$$を $z_n$ について解くと$$z_n=\frac{(2+i){\alpha }_n+{\beta }_n}{4}\mathrm{.}$$よって$$z_n=3^{n-1}+\frac{3^{n-1}+(-1{)}^n}{2}i\mathrm{.}$$