熊本大学 2018年度 前期数学③ 第3問

(問1)$$z=r(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$$ とおく。また$$A=\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid },B=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$$とおくと，条件は $A-B=1$ である。一方$$A^2=r^2+1+2r\sin {\theta }_1,B^2=r^2+1-2r\sin {\theta }_1$$であるから$$A^2-B^2=4r\sin {\theta }_1$$である。$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ より$$A+B=4r\sin {\theta }_1$$である。したがって $\sin {\theta }_1>0$ である。

さらに$$B=\frac{(A+B)-(A-B)}{2}=\frac{4r\sin {\theta }_1-1}{2}$$であり，これを$$B^2=r^2+1-2r\sin {\theta }_1$$に代入すると$$r^2=\frac{3}{4(4{\sin }^2{\theta }_1-1)}$$を得る。よって $4{\sin }^2{\theta }_1-1>0$ であり，$\sin {\theta }_1>0$ と合わせて$$\sin {\theta }_1>\frac{1}{2}$$である。したがって$$\frac{\pi }{6}<{\theta }_1<\frac{5\pi }{6}$$である。

(問2)
$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$ であるから$$r_2=\frac{1}{r},{\theta }_2=2\pi -{\theta }_1$$である。ただし偏角は $0\leqq {\theta }_2<2\pi$ でとる。問1より$$\frac{\pi }{6}<{\theta }_1<\frac{5\pi }{6}$$であるから$$\frac{7\pi }{6}<{\theta }_2<\frac{11\pi }{6}$$である。また$$r_2^2=\frac{1}{r^2}=\frac{4(4{\sin }^2{\theta }_2-1)}{3}$$である。したがって $r_2$ のとりうる値の範囲は$$0<r_2\leqq 2$$であり，$r_2=2$ は $${\theta }_2={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$ のときに成り立つ。

$z=x+iy$ とおいて軌跡を直交座標の双曲線として求める。上側の枝と漸近線から偏角範囲を読み、原点からの最短距離で逆数の絶対値範囲を決める。

(問1)$$z=x+iy$$とおく。条件は$$\sqrt{x^2+(y+1{)}^2}-\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=1.$$右の平方根を移項して二乗すると$$4y-1=2\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}\mathrm{.}$$右辺は非負なので $4y-1\geqq 0$ である。さらに二乗して整理すると$$-4x^2+12y^2=3,$$すなわち$$\frac{y^2}{1\mathrm{/}4}-\frac{x^2}{3\mathrm{/}4}=1.$$元の符号条件を満たすのは上側の枝$$y\geqq \frac{1}{2}$$である。漸近線は$$y=\frac{x}{\sqrt{3}},y=-\frac{x}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$したがって原点から上側の枝へ向かう半直線の偏角は$$\frac{\pi }{6}<{\theta }_1<\frac{5\pi }{6}\mathrm{.}$$(問2)$$w=\frac{1}{z}$$より$$r_2=\frac{1}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }},{\theta }_2=2\pi -{\theta }_1\mathrm{.}$$したがって$$\frac{7\pi }{6}<{\theta }_2<\frac{11\pi }{6}\mathrm{.}$$双曲線 $H$ 上で原点に最も近い点は頂点 $(0,1\mathrm{/}2)$ なので$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$また漸近線方向へ進むと $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ である。よって$$0<r_2\leqq 2.$$上端 $2$ は $z=i\mathrm{/}2$ のときにとり、下端 $0$ はとらない。