熊本大学 2021年度 前期数学③ 第2問

(問1)
$d=\beta -\alpha$，$$u=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$ とおくと，代入整理により$$w^2{d}^2-4u^2{d}^2=0$$である。$d\mathrm{\ne }0$ より $u=\pm w\mathrm{/}2$。$w$ は第1象限にあるので，$u$ の偏角 $\theta$ は$$0<\theta <\frac{\pi }{2},\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$(問2)
正三角形なら $$u=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ または $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$。$u=\pm w\mathrm{/}2$ と $w$ の象限条件から$$w=1+\sqrt{3}i\mathrm{.}$$(問3)
$\alpha =w$，$d=\beta -w$ とする。正三角形条件から $$\gamma =w+\frac{w}{2}d$$，重心条件から$$\frac{w+(w+d)+(w+\frac{w}{2}d)}{3}=\frac{w^2}{2}\mathrm{.}$$よって $$d=\frac{3w(w-2)}{w+2}=-3+\sqrt{3}i$$。したがって$$\beta =-2+2\sqrt{3}i,\gamma =-2.$$

与式を差の平方へ直接まとめ、偏角を $\pi$ を法とする合同式で扱う。(問3)は正三角形の重心が外心でもあることを用い、$A$ から残る2頂点を120度回転で復元する。

(問1)
与式を一方へ移して整理すると$$w^2(\beta -\alpha {)}^2=4(\gamma -\alpha {)}^2$$となる。したがって$$u=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$と置けば$$u=\pm \frac{w}{2}$$である。$w$ は第1象限にあるので $0<\arg w<\pi \mathrm{/}2$ であり$$\arg u\equiv \arg w(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )$$である。よって $0\leqq \theta <2\pi$ における範囲は$$0<\theta <\frac{\pi }{2},\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$$である。

(問2)
正三角形なら、辺 $AB$ から辺 $AC$ への回転比は$$u=e^{i\pi \mathrm{/}3}\text{または}u=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$$である。$w=\pm 2u$ の4候補のうち第1象限にあるものは$$w=1+\sqrt{3}i$$だけである。

(問3)
重心を $G$ とすると$$G=\frac{w^2}{2}=-1+\sqrt{3}i,A=w=1+\sqrt{3}i$$であり$$\overrightarrow{GA}=2$$である。正三角形では重心と外心が一致するため、残る2頂点へのベクトルは $2$ を $\pm 120$ 度回転したものになる。したがって$$G+2e^{2\pi i\mathrm{/}3}=-2+2\sqrt{3}i,G+2e^{4\pi i\mathrm{/}3}=-2$$を得る。(問1)の向き $u=w\mathrm{/}2=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ に合うように頂点を対応させると$$\beta =-2+2\sqrt{3}i,\gamma =-2$$である。