熊本大学 2023年度 前期数学② 第3問

(問1)$$\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$とおく。このとき ${\omega }^2=\omega -1$ である。点 $A$ を原点中心に回転した点は$$P:\omega \alpha$$である。点 $O$ を点 $B$ 中心に回転した点は$$Q:\beta +\omega (0-\beta )=(1-\omega )\beta$$である。点 $B$ を点 $A$ 中心に回転した点は$$R:\alpha +\omega (\beta -\alpha )=(1-\omega )\alpha +\omega \beta$$である。

(問2)
重心を表す複素数をそれぞれ $g,h,i$ とすると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g}& {\displaystyle =\frac{\omega \alpha +0+\alpha }{3}=\frac{1+\omega }{3}\alpha ,}\\ {\displaystyle h}& {\displaystyle =\frac{(1-\omega )\beta +\beta +0}{3}=\frac{2-\omega }{3}\beta ,}\\ {\displaystyle i}& {\displaystyle =\frac{(1-\omega )\alpha +\omega \beta +\alpha +\beta }{3}=\frac{(2-\omega )\alpha +(1+\omega )\beta }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$(問3)
上の表示から$$h-g=\frac{-(1+\omega )\alpha +(2-\omega )\beta }{3}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \omega (h-g)}& {\displaystyle =\frac{-\omega (1+\omega )\alpha +\omega (2-\omega )\beta }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1-2\omega )\alpha +(1+\omega )\beta }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =i-g\mathrm{.}}\end{array}$$よって，点 $I$ は点 $H$ を点 $G$ のまわりに ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ だけ回転した点である。$G,H,I$ が三角形をなすとき $H\mathrm{\ne }G$ であるから，$GH=GI$ かつ $$\mathrm{\angle }HGI={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。したがって $\mathrm{△}GHI$ は正三角形である。

${60}^{\circ }$ 回転を表す線形写像 $T$ を用い、$T^2-T+E=0$ を利用する。各点と重心を位置ベクトルで表し、$\overrightarrow{GI}=T(\overrightarrow{GH})$ を直接示す。

${60}^{\circ }$ の反時計回り回転を $T$、恒等写像を $E$ とする。このとき$$T^2-T+E=0$$である。

(問1)
点をその位置ベクトルでも表すことにすると$$P=T\alpha ,Q=(E-T)\beta ,R=(E-T)\alpha +T\beta$$である。複素数表示では $Tz=\omega z$、$$\omega ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ だから$$P=\omega \alpha ,Q=(1-\omega )\beta ,R=(1-\omega )\alpha +\omega \beta$$となる。

(問2)
重心の公式から$$G=\frac{E+T}{3}\alpha ,H=\frac{2E-T}{3}\beta ,I=\frac{2E-T}{3}\alpha +\frac{E+T}{3}\beta$$である。

(問3)
上式と $T^2=T-E$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T(H-G)}& {\displaystyle =\frac{-T(E+T)\alpha +T(2E-T)\beta }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(E-2T)\alpha +(E+T)\beta }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =I-G\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $\overrightarrow{GI}$ は $\overrightarrow{GH}$ を ${60}^{\circ }$ 回転したベクトルである。3点が三角形をなすとき両ベクトルは零でないので$$GI=GH,\mathrm{\angle }HGI={60}^{\circ }\mathrm{.}$$よって $\mathrm{△}GHI$ は正三角形である。